Enunciado

Nos exercícios de 19-22, cada matrix C tem a forma (15). O Teorema 5.3.7 implica que C é o produto de uma matriz de contração ou dilatação de fator | λ | pela matriz de rotação de ângulo ϕ . Encontre | λ | e o ângulo ϕ tal que - π < ϕ < π

C = 1 1 - 1 1

Passo 1

O Teorema 5.3.7 diz que para uma matriz do formato: C = a - b b a os autovalores da matriz são:

λ = a ± b ⋅ i

E que a matriz pode ser fatorada como:

a - b b a = | λ | 0 0 | λ | cos ⁡ ϕ s en ⁡ ϕ - sen ⁡ ϕ -   cos ⁡ ϕ

Mas se a gente fizer o produto matricial, vamos chegar em:

a - b b a = | λ | cos ⁡ ϕ | λ | sen ⁡ ϕ - | λ | sen ⁡ ϕ | λ | cos ⁡ ϕ

O que implica dizer que:

a = λ cos ⁡ ϕ b = | λ | sen ⁡ ϕ

Vamos aplicar isso na matriz dada pela questão:

Passo 2

A questão nos dá a seguinte matriz:

C = 1 1 - 1 1

Ou seja:

a = 1 b = 1

Pelo Teorema 5.3.7 os autovalores dessa matriz são:

λ = a ± b i = 1 ± i

Então o valor absoluto dos autovalores serão:

λ = a ± b i

| λ | = a 2 + b 2

λ = 1 2 + 1 2

λ = 2

Passo 3

E para calcular o ângulo ϕ , vamos usar as seguintes relações:

a = λ cos ⁡ ϕ b = | λ | sen ⁡ ϕ

Vamos aplicar os valores:

1 = 2 cos ⁡ ϕ ⇒ cos ⁡ ϕ = 2 2 1 = 2 sen ⁡ ϕ ⇒ s en ⁡ ϕ = 2 2

Logo:

ϕ = 45 º = π 4

Resposta

λ = 2

ϕ = 45 º = π 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 11-12, calcule u → ⋅ v → , u ⋅ w e v ⋅ w e mostre que os vetores satisfazem a Fórmula (5) e as partes (a), (b), e (c) do Teorema 5.3.3.
Nos exercícios 11-12, calcule u → ⋅ v → , u ⋅ w e v ⋅ w e mostre que os vetores satisfazem a Fórmula (5) e as partes (a), (b), e (c) do Teorema 5.3.3.
Prove a parte (c) do Teorema 5.3.1
Nos Exerícios 15-18, encontre os autovalores e as bases dos autoespaços de A. A = 5 1 - 2 3
Nos exercícios de 19-22, cada matrix C tem a forma (15). O Teorema 5.3.7 implica que C é o produto de uma matriz de contração ou dilatação de fator | λ | pela matriz de rotação de ângulo ϕ . Encontre