Enunciado

Nos exercícios 19-20, resolva a equação matricial dada para X

20.

- 2 0 1 0 - 1 - 1 1 1 - 4 X = 4 3 2 1 6 7 8 9 1 3 7 9

Passo 1

Podemos transformar a matriz da esquerda em uma matriz por blocos:

4 6 1 3 7 3 2 8 7 1 9 9

Então o problema se torna parecido com o do Exemplo 2 dessa seção, só que no nosso caso temos 4 colunas de constantes, ao invés de 2.

Escrevendo a matriz aumentada dos coeficientes com as colunas das constantes:

- 2 0 1 0 - 1 - 1 1 1 - 4 4 6 1 3 7 3 2 8 7 1 9 9

Então, vamos ir realizando operações com as linhas, até obter a matriz identidade onde está a matriz dos coeficientes. Após isso, no lugar das colunas das constantes, vamos ter as colunas que são as soluções do sistema.

Passo 2

Vamos escrever a matriz estendida e escalona-la para resolver o sistema:

- 2 0 1 0 - 1 - 1 1 1 - 4 4 6 1 3 7 3 2 8 7 1 9 9

Multiplicando a primeira linha por - 1 2 e a segunda por - 1 :

1 0 - 1 / 2 0 1 1 1 1 - 4 - 2 - 6 1 - 3 / 2 - 7 3 - 1 - 8 7 - 1 / 2 - 9 9

Somando - 1 vez a primeira linha na terceira:

1 0 - 1 / 2 0 1 1 0 1 - 7 / 2 - 2 - 6 3 - 3 / 2 - 7 9 / 2 - 1 - 8 8 - 1 / 2 - 9 1 9 / 2

Somando - 1 vez a segunda linha na terceira:

1 0 - 1 / 2 0 1 1 0 0 - 9 / 2 - 2 - 6 9 - 3 / 2 - 7 23 / 2 - 1 - 8 16 - 1 / 2 - 9 37 / 2

Multiplicando a terceira linha por - 2 / 9 :

1 0 - 1 / 2 0 1 1 0 0 1 - 2 - 6 - 2 - 3 / 2 - 7 - 23 / 9 - 1 - 8 - 32 / 9 - 1 / 2 - 9 - 37 / 9

Somando - 1 vez a linha 3 na linha 2 e 1 / 2 vez a linha 3 na linha 1: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 3 - 4 - 2 - 25 / 9 - 40 / 9 - 23 / 9 - 25 / 9 - 40 / 9 - 32 / 9 - 23 / 9 - 44 / 9 - 37 / 9

Portando a solução para o problema é a matriz:

X = - 3 - 2 5 / 9 - 2 5 / 9 - 23 / 9 - 4 - 40 / 9 - 40 / 9 - 44 / 9 - 2 - 2 3 / 9 - 3 2 / 9 - 3 7 / 9

Resposta

X = - 3 - 25 / 9 - 25 / 9 - 23 / 9 - 4 - 40 / 9 - 40 / 9 - 44 / 9 - 2 - 23 / 9 - 32 / 9 - 37 / 9

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A = 1 0 1 1 1 0 0 1 1
A = 0 0 1 1 1 0 - 1 1 1
- x 1 + 4 x 2 + x 3 = b 1 x 1 + 9 x 2 - 2 x 3 = b 2 6 x 1 + 4 x 2 - 8 x 3 = b 3 b 1 = 0 , b 2 = 1 , b 3 = 0 b 1 = - 3 , b 2 = 4 , b 3 = - 5
- x - 2 y - 3 z = 0 w + x + 4 y + 4 z = 7 w + 3 x + 7 y + 9 z = 4 - w - 2 x - 4 y - 6 z = 6
4 x 1 - 3 x 2 = - 3 2 x 1 - 5 x 2 = 9