Enunciado

Nos Exerciocios 13-17, determine, se houver, as condições que as constantes b deve satisfazer para garantir a consistência do sistema linear dado.

15.

x 1 - 2 x 2 + 5 x 3 = b 1

4 x 1 - 5 x 2 + 8 x 3 = b 2

- 3 x 1 + 3 x 2 - 3 x 3 = b 3

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é escrever a matriz estendida desse sistema:

1 - 2 5 b 1 4 - 5 8 b 2 - 3 3 - 3 b 3

E agora precisamos escalonar a matriz.

Somando, - 4 vezes a primeira linha, a segunda linha:

1 - 2 5 b 1 0 3 - 12 b 2 - 4 b 1 - 3 3 - 3 b 3

Somando, 3 vezes a primeira linha, a terceira:

1 - 2 5 b 1 0 3 - 12 b 2 - 4 b 1 0 - 3 12 b 3 + 3 b 1

Dividindo a segunda e terceira linha por 3:

1 - 2 5 b 1 0 1 - 4 b 2 - 4 b 1 3 0 - 1 4 b 3 + 3 b 1 3

Somando a segunda linha à terceira: 1 - 2 5 b 1 0 1 - 4 b 2 - 4 b 1 3 0 0 0 b 3 + b 2 - b 1 3

Passo 2

Para esse sistema ser homogêneo a equação que sai da ultima linha dessa matriz deve sempre valer:

0 ⋅ x 1 + 0 ⋅ x 2 + 0 ⋅ x 3 = b 3 + b 2 - b 1 3

0 = b 3 + b 2 - b 1 3

b 3 + b 2 - b 1 = 0

b 1 = b 2 + b 3

Ou seja, para o sistema ser homogêneo:

b 1 = b 2 + b 3

Resposta

Para o sistema ser homogêneo:

b 1 = b 2 + b 3

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