Enunciado

Nos exercícios 5-6, use inversão matricial para encontrar o vetor de produção x que satisfaz a demanda d para a matriz de consumo C.

5. C = 0,1 0,3 0,5 0,4 ; d = 50 60

Passo 1

Vamos usar a equação 2:

I - C x = d

1 0 0 1 - 0,1 0,3 0,5 0,4 x = 50 60

0,9 - 0,3 - 0,5 0,6 x = 50 60

Se multiplicarmos a equação pela inversa dessa matriz:

0,9 - 0,3 - 0,5 0,6

Nós teremos o seguinte:

0,9 - 0,3 - 0,5 0,6 - 1 0,9 - 0,3 - 0,5 0,6 x = 0,9 - 0,3 - 0,5 0,6 - 1 50 60

I ⋅ x = 0,9 - 0,3 - 0,5 0,6 - 1 50 60

x = 0,9 - 0,3 - 0,5 0,6 - 1 50 60

Ou seja, multiplicando pela inversa descobrimos o valor do vetor produção.

Passo 2

Podemos usar as operações com linhas para encontrar a matriz inversa, que aprendemos na seção 5 desse capitulo.

Vamos escrever a matriz ao lado da matriz indentidade

0,9 - 0,3 - 0,5 0,6 1 0 0 1

E através de operações com linhas, vamos ir mexendo na primeira matriz até que a gente ache a matriz indentidade, nessa hora a matriz da direita mais ser a matriz inversa. Vai ficar dessa forma:

1 0 0 1 0,9 - 0,3 - 0,5 0,6 - 1

Vamos começar:

0,9 - 0,3 - 0,5 0,6 1 0 0 1

Dividindo a primeira linha por 0,9:

1 - 1 / 3 - 0,5 0,6 10 / 9 0 0 1

Somando 0,50 vezes a primeria linha na segunda:

1 - 1 / 3 0 13 / 30 10 / 9 0 5 / 9 1

Multiplicando a segunda linha por 30/13:

1 - 1 / 3 0 1 10 / 9 0 50 / 39 30 / 13

Somando 1/3 vezes a segunda linha na primeira: 1 0 0 1 20 / 13 10 / 13 50 / 39 30 / 13

Ai esta nossa matriz inversa.

Passo 3

Agora é só substituir ela na equação que tínhamos:

x = 0,9 - 0,3 - 0,5 0,6 - 1 50 60

x = 20 / 13 10 / 13 50 / 39 30 / 13 50 60

x = 123,08 202,56

E encontramos o vetor produção.

Resposta

x = 123,08 202,56

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