Enunciado

Nos Exerciocios 13-17, determine, se houver, as condições que as constantes b deve satisfazer para garantir a consistência do sistema linear dado.

17.

x 1 - x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = b 1

- 2 x 1 + x 2 + 5 x 3 + x 4 = b 2

- 3 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 - x 4 = b 3

4 x 1 - 3 x 2 + x 3 + 3 x 4 = b 4

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é escrever a matriz estendida desse sistema:

1 - 1 3 2 b 1 - 2 1 5 1 b 2 - 3 2 2 - 1 b 3 4 - 3 1 3 b 4

E agora precisamos escalonar a matriz.

Somando 2 vezes a primeira linha à segunda linha:

1 - 1 3 2 b 1 0 - 1 11 5 b 2 + 2 b 1 - 3 2 2 - 1 b 3 4 - 3 1 3 b 4

Somando, 3 vezes a primeira linha, à terceira:

1 - 1 3 2 b 1 0 - 1 11 5 b 2 + 2 b 1 0 - 1 11 5 b 3 + 2 b 1 4 - 3 1 3 b 4

Somando, - 4 vezes a primeira linha, à quarta:

1 - 1 3 2 b 1 0 - 1 11 5 b 2 + 2 b 1 0 - 1 11 5 b 3 + 2 b 1 0 1 - 11 - 5 b 4 - 4 b 1

Multiplicando a segunda linha por - 1 :

1 - 1 3 2 b 1 0 1 - 11 - 5 - b 2 - 2 b 1 0 - 1 11 5 b 3 + 2 b 1 0 1 - 11 - 5 b 4 - 4 b 1

Somando a segunda linha à terceira: 1 - 1 3 2 b 1 0 1 - 11 - 5 - b 2 - 2 b 1 0 0 0 0 b 3 - b 2 0 1 - 11 - 5 b 4 - 4 b 1

Somando - 1 vez a segunda linha à terceira: 1 - 1 3 2 b 1 0 1 - 11 - 5 - b 2 - 2 b 1 0 0 0 0 b 3 - b 2 0 0 0 0 b 4 + b 2 - 2 b 1

Passo 2

Para esse sistema ser homogêneo a equação que sai das ultimas duas linha dessa matriz deve sempre valer.

Terceira linha:

0 ⋅ x 1 + 0 ⋅ x 2 + 0 ⋅ x 3 + 0 ⋅ x 4 = b 3 - b 2

0 = b 3 - b 2

b 3 = b 2

Quarta linha:

0 ⋅ x 1 + 0 ⋅ x 2 + 0 ⋅ x 3 + 0 ⋅ x 4 = b 4 + b 2 - 2 b 1

b 4 + b 2 - 2 b 1 = 0

Ou seja, para o sistema ser homogêneo:

b 3 = b 2

e

b 4 + b 2 - 2 b 1 = 0

Resposta

Para o sistema ser homogêneo:

b 3 = b 2

e

b 4 + b 2 - 2 b 1 = 0

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