Enunciado

Na figura, a → = b → = c → = 2 , ∠ a → ,   b → = 90 ° ,   ∠ a → ,   c → = 60 °   e ∠ b → ,   c → = 60 ° . Determine o ângulo formado pelos vetores a → + b → e a → + c → .

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem?

Seguinte, primeiro vamos calcular o módulo de a → + b → :

a → + b → = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → c o s 90 °

a → + b → = 2 2 + 2 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 0

a → + b → = 2 2

Passo 2

Agora, vamos calcular o módulo de a → + c → :

a → + c → 2 = a → 2 + c 2 + 2 a → c → c o s 60 °

a → + c → 2 = 2 2 + 2 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 1 2

a → + c → = 2 3

Passo 3

Por fim, vamos calcular o produto escalar:

a → + b → a → + c → = a → ⋅ a → + a → ⋅ c → + b → ⋅ a → + b → ⋅ c →

a → + b → a → + c → = 2 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ 1 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ 0 + 2 ⋅ 2 ⋅ 1 2

a → + b → a → + c → = 8

Para achar o ângulo formado, temos:

cos ⁡ α = a → + b → ⋅ a → + c → a → + b → ⋅ a → + c → = 8 2 2 ⋅ 2 3 = 2 3

Fechou! Vamos pra próxima?

Resposta

cos ⁡ α = 2 3

Exercícios de Livros Relacionados

No paralelogramo ACBD, os lados AB e AD medem, respectivamente, 3 e 9, e o ângulo interno de vértice A mede 60°. Sejam M o ponto DC e N o ponto AD tais que D M → = 3 M C → e 3 A N → = 2 A D → . Calcul
A norma de A X → , sendo X o ponto de interseção de A MeB N .
(a) Prove que u → + v → + w → 2 = u → 2 + v → 2 + w → 2 + 2 u → ∙ v → + u → ∙ w → + v → ∙ w → , quaisquer que sejam u → , v → e w → .(b) Dados os vetores não-nulos u → , v → e w → , sejam α = a n g u
Dado os vetores u → = ( 2 , - 4 ) e v → = - 5,1 e w → = - 12,6 determine k 1ek 2t a l que w → = k 1 u → + k 2 v → .
Determinar o vetor v → sabendo que 3,7 , 1 + 2 v → = 6,10,4 -v →