Enunciado

(a) Prove que u → + v → + w → 2 = u → 2 + v → 2 + w → 2 + 2 u → ∙ v → + u → ∙ w → + v → ∙ w → , quaisquer que sejam u → , v → e w → .

(b) Dados os vetores não-nulos u → , v → e w → , sejam α = a n g u → , v → , β = a n g u → , w → e γ = a n g v → , w → . Prove que - 3 / 2 ≤ cos ⁡ α + cos ⁡ β + cos ⁡ γ ≤ 3 .

(c) Supondo, no item anterior, que α = β = γ , verifique se u → , v → , w → é base.

Passo 1

Vamos começar escrevendo algumas formas gerais para os vetores u → , v → e w → :

u → = u 1 , u 2 , u 3

v → = v 1 , v 2 , v 3

w → = w 1 , w 2 , w 3

A nossa ideia é provar essa equação aqui:

u → + v → + w → 2 = u → 2 + v → 2 + w → 2 + 2 u → ∙ v → + u → ∙ w → + v → ∙ w →

Primeiro vamos olhar para o termo do lado esquerdo:

u → + v → + w → 2

A soma dos três vetores é:

u → + v → + w → = u 1 + v 1 + w 1 ,     u 2 + v 2 + w 2 ,     u 3 + v 3 + w 3

E a norma quadrada dessa soma é:

u → + v → + w → 2 = u 1 + v 1 + w 1 2 + u 2 + v 2 + w 2 2 + u 3 + v 3 + w 3 2 2

u → + v → + w → 2 = u 1 + v 1 + w 1 2 + u 2 + v 2 + w 2 2 + u 3 + v 3 + w 3 2

Vamos ver o que acontece com um desses parênteses ao quadrado:

u 1 + v 1 + w 1 2 = u 1 + v 1 2 + 2 u 1 + v 1 w 1 + w 1 2

u 1 + v 1 + w 1 2 = u 1 2 + 2 u 1 v 1 + v 1 2 + 2 u 1 w 1 + 2 v 1 w 1 + w 1 2

u 1 + v 1 + w 1 2 = u 1 2 + v 1 2 + w 1 2 + 2 u 1 v 1 + 2 u 1 w 1 + 2 v 1 w 1

Ou seja, aparecem todos os termos ao quadrado, e depois todas as possibilidades de produtos entre eles multiplicadas por dois.

Os outros dois parênteses são exatamente iguais a esse, você só precisa mudar o índice 1 ,   2   e   3 .

Passo 2

Agora vamos olhar para o outro lado da igualdade:

u → 2 + v → 2 + w → 2 + 2 u → ∙ v → + u → ∙ w → + v → ∙ w →

Usando as mesmas fórmulas de antes:

u → 2 = u 1 2 + u 2 2 + u 3 2

v → 2 = v 1 2 + v 2 2 + v 3 2

w → 2 = w 1 2 + w 2 2 + w 3 2

E aqueles produtos internos são:

2 u → ∙ v → = 2 u 1 v 1 + 2 u 2 v 2 + 2 u 3 v 3

2 u → ∙ w → = 2 u 1 w 1 + 2 u 2 w 2 + 2 u 3 w 3

2 v → ∙ w → = 2 v 1 w 1 + 2 v 2 w 2 + 2 v 3 w 3

Beleza, aqui já dá pra perceber que esse termo da direita está idêntico ao termo da esquerda.

O termo da esquerda é:

u → + v → + w → 2 = u 1 2 + v 1 2 + w 1 2 + u 2 2 + … + w 3 2 + 2 u 1 v 1 + u 1 w 1 + v 1 w 1 + … v 3 w 3

E o da direita é, pelo que vimos agora, é exatamente igual. Ou seja, está demonstrada a igualdade do item (a).

Passo 3

(b) Já que só estamos pensando nos ângulos entre os vetores, vamos considerar os versores u ^ , v ^ e w ^ . Aplicando a igualdade do item (a), vamos ter essa expressão aqui:

u ^ + v ^ + w ^ 2 = u ^ 2 + v ^ 2 + w ^ 2 + 2 u ^ ∙ v ^ + u ^ ∙ w ^ + v ^ ∙ w ^

Quando estamos trabalhando com versores, o produto interno e as normas são:

u ^ ∙ v ^ = u → v → cos ⁡ α = cos ⁡ α

u ^ = 1 v ^ = 1 w ^ = 1

Ou seja:

u ^ + v ^ + w ^ 2 = 1 + 1 + 1 + 2 cos ⁡ α + cos ⁡ β + cos ⁡ γ

u ^ + v ^ + w ^ 2 = 3 + 2 cos ⁡ α + cos ⁡ β + cos ⁡ γ

Como a norma quadrada ali do lado esquerdo é sempre maior ou igual a zero:

u ^ + v ^ + w ^ 2 ≥ 0

3 + 2 cos ⁡ α + cos ⁡ β + cos ⁡ γ ≥ 0

Então:

cos ⁡ α + cos ⁡ β + cos ⁡ γ ≥ - 3 2

Ao mesmo tempo, o maior valor possível da norma aconteceria se os três vetores unitários estivessem alinhados, formando um vetor do tipo:

u ^ + v ^ + w ^ = 1,0 , 0 + 1,0 , 0 + 1,0 , 0 = 3,0 , 0

Nesse caso, a norma quadrada seria:

u ^ + v ^ + w ^ 2 = 3 2 + 0 2 + 0 2 = 9

Ou seja:

u ^ + v ^ + w ^ 2 ≤ 9

Substituindo com a fórmula de cima:

3 + 2 cos ⁡ α + cos ⁡ β + cos ⁡ γ ≤ 9

cos ⁡ α + cos ⁡ β + cos ⁡ γ ≤ 9 - 3 2

cos ⁡ α + cos ⁡ β + cos ⁡ γ ≤ 3

Pronto! Demonstramos os dois lados da desigualdade do enunciado:

- 3 2 ≤ cos ⁡ α + cos ⁡ β + cos ⁡ γ ≤ 3

Passo 4

(c) E o nosso próximo objetivo é verificar se u → , v → , w → é uma base no caso em que α = β = γ .

Vamos continuar pensando só em vetores unitários. Até porque se u ^ , v ^ , w ^ é base, então u → , v → , w → também é.

Se u ^ , v ^ , w ^ são uma base, então os três vetores têm que ser linearmente independentes. Ou seja, essa equação aqui:

a u ^ + b v ^ + c w ^ = 0

Precisa ter a = b = c = 0 como única solução.

Se a gente fizer o produto escalar da equação por u ^ dos dois lados:

u ^ ∙ a u ^ + b v ^ + c w ^ = 0

Lembrando que u ^ ∙ u ^ = u ^ 2 = 1 e u ^ ∙ v ^ = u ^ ∙ v ^ = cos ⁡ θ , já que o ângulo é o mesmo entre todos os vetores:

u ^ ∙ a u ^ + b v ^ + c w ^ = a + b cos ⁡ θ + c cos ⁡ θ = 0

E fazendo a mesma coisa com os outros dois versores, ficamos com esse sistema aqui:

a + b cos ⁡ θ + c cos ⁡ θ = 0 a cos ⁡ θ + b + c cos ⁡ θ = 0 a cos ⁡ θ + b cos ⁡ θ + c = 0

Passo 5

Podemos escrever esse sistema na forma matricial:

1 cos ⁡ θ cos ⁡ θ cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ cos ⁡ θ cos ⁡ θ 1 a b c = 0 0 0

Se esse sistema só tem a solução trivial, então o nosso conjunto de vetores é linearmente independente, e u ^ , v ^ , w ^ são uma base.

Se existirem outras soluções, então o conjunto é linearmente dependente, e não forma uma base.

A melhor forma de verificar isso é calculando o determinante da matriz. Mas antes vamos chamar x = cos ⁡ θ :

1 x x x 1 x x x 1 = 1 + x 3 + x 3 - x 2 + x 2 + x 2 = 1 + 2 x 3 - 3 x 2

Quando o determinante é igual a zero, aí nós temos outras soluções além da trivial, e aí não temos uma base. Vamos ver quando isso acontece:

1 + 2 x 3 - 3 x 2 = 0

Para resolver equações do terceiro grau, muitas vezes temos que procurar a solução no chute mesmo. Já que x = cos ⁡ θ , sabemos que vai estar entre - 1 e 1 , isso já facilita bastante.

Depois de testar algumas coisas vamos achar duas raízes:

x = 1 x = - 1 2

Outra forma de enxergar isso é fatorando o polinômio:

1 + 2 x 3 - 3 x 2 = x + 1 2 x - 1 2

Passo 6

Então beleza, o nosso sistema só tem soluções além da solução trivial quando:

cos ⁡ θ = 1         ⇒         θ = 0

cos ⁡ θ = - 1 2         ⇒           θ = 2 π 3

Ou seja, o conjunto u → , v → , w → é uma base quando α = β = γ em todos os casos, exceto quando os ângulos entre os vetores são iguais a 0 ou 2 π / 3 .

Resposta

(a) Demonstração.

(b) Demonstração.

(c) Os vetores formam uma base sempre que o ângulo entre eles é diferente de zero ou 2 π / 3 .

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