Enunciado

Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.

Passo 1

Falaaaaaa aí!!!! Tudo bem?

Bora matar mais essa?

Então, a primeira coisa que vamos precisar é identificar a nossa superfície, que depois tudo se resolve. Mas aí, você pode me perguntar como eu vou saber quem é quem???

Fica tranquilo, que o segredo é o seguinte, vamos expressar as equações na sua forma reduzida, e depois vamos conferir no conteúdo Superfícies e Quádricas qual equação dará match com a nossa.

Passo 2

Vamos escrever nossa equação:

x 2 + y 2 - 2 y = 0

Vamos colocar uns parênteses separando nossas incógnitas para nos ajudar:

x 2 + y 2 - 2 y = 0

Temos y 2 , podemos tentar completar os pararênteses para voltar na forma produtos notáveis, vamos chamar esse complemento de a .

Ahhhh, mas vamos lembrar que o que colocamos do lado esquerdo precisamos colocar no direito:

x 2 + y 2 - 2 y + a 2 = 0 + a 2

Seguindo a solução de um produto notável, temos que:

x ± c 2 = x 2 ± 2 x c + c 2

Agora vamos analisar cada parentesê separado:

y 2 - 2 y + a 2 = x - a 2

- 2 y = 2 a y

a = - 1

Voltando para nossa equação:

x 2 + y 2 - 2 y + a 2 = 0 + a 2

Vamos substituir nosso valor de a :

x 2 + y 2 - 2 y + - 1 2 = 0 + - 1 2

x 2 + y 2 - 2 y + 1 = 1

Agora só precisamos escrever na forma de produtos notáveis:

x 2 + y - 1 2 = 1

Agora sim, temos uma equação parecida que nos lembra a equação da superfície cilíndrica circular:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Então:

Arrasamos!!!!!!

Agora faltam apenas seis, bora resolve-las?

Resposta

Superfície cilíndrica circular, geratriz paralela a O z .

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Determine representações paramétricas para as seguintes superfícies.d) f x , y = 0
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Determine representações paramétricas para as seguintes superfícies.e) f x z , y z = 0
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas é dada. a) r = 4
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação em coordenadas esféricas é dada. c) r = 2 t a n ⁡ ( θ )