Enunciado

Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.

Passo 1

Falaaaaaa aí!!!! Tudo bem?

Bora matar mais essa?

Então, a primeira coisa que vamos precisar é identificar a nossa superfície, que depois tudo se resolve. Mas aí, você pode me perguntar como eu vou saber quem é quem???

Fica tranquilo, que o segredo é o seguinte, vamos expressar as equações na sua forma reduzida, e depois vamos conferir no conteúdo Superfícies e Quádricas qual equação dará match com a nossa.

Passo 2

Vamos escrever nossa equação:

y 2 - 4 z 2 - 4 x - 6 y - 24 z - 31 = 0

Podemos somar 31 de cada lado:

y 2 - 4 z 2 - 4 x - 6 y - 24 z = 31

Reorganizando, temos:

- 4 x + y 2 - 6 y - 4 z 2 - 24 z = 31

Vamos colocar uns parênteses separando nossas incógnitas para nos ajudar:

- 4 x + y 2 - 6 y - 4 z 2 - 24 z = 31

Reoganizando:

- 4 x + y 2 - 6 y - 4 z 2 - 6 z = 31

Temos y 2 e z 2 , podemos tentar completar os pararênteses para voltar na forma produtos notáveis, vamos chamar esses complementos de a e b .

Ahhhh, mas vamos lembrar que o que colocamos do lado esquerdo precisamos colocar no direito:

- 4 x + y 2 - 6 y + a 2 - 4 z 2 + 6 z + b 2 = 31 + a 2 - 4 b 2

Seguindo a solução de um produto notável, temos que:

x ± c 2 = x 2 ± 2 x c + c 2

Agora vamos analisar cada parentesê separado.

Para y :

y 2 + 2 y + a 2 = x - a 2

- 6 y = 2 a y

a = - 3

Para z :

z 2 + 6 z + b 2 = x + b 2

6 z = 2 b z

b = 3

Voltando para nossa equação:

- 4 x + y 2 - 6 y + a 2 - 4 z 2 + 6 z + b 2 = 31 + a 2 - 4 b 2

Vamos substituir nosso valor de a :

- 4 x + y 2 - 6 y + - 3 2 - 4 z 2 + 6 z + 3 2 = 31 + - 3 2 - 4 ∙ 3 2

- 4 x + y 2 - 6 y + 9 - 4 z 2 + 6 z + 9 = 31 + 9 - 36

- 4 x + y 2 - 6 y + 9 - 4 z 2 + 6 z + 9 = 4

Agora só precisamos escrever na forma de produtos notáveis:

- 4 x + y - 3 2 - 4 z + 3 2 = 4

Mas ainda não encontramos nosso match, então precisamos mudar algo na equação. Vamos somar 4 x de ambos os lados:

y - 3 2 - 4 z + 3 2 = 4 + 4 x

Vamos colocar o 4 em evidência:

y - 3 2 - 4 z + 3 2 = 4 x + 1

Vamos dividir toda a equação por 4 :

y - 3 2 4 - 4 z + 3 2 4 = 4 x + 1 4

y - 3 2 4 - z + 3 2 1 = x + 1

Agora sim, temos uma equação parecida que nos lembra uma das equações do paraboloide hiberbolico (vou colocar as equações do paraboloide hiberbolico):

- x 2 a 2 + y 2 b 2 = c z ou - x 2 a 2 + z 2 c 2 = b y ou - y 2 b 2 + z 2 c 2 = a x

Então:

Passo 3

Agora vamos identificar o centro C . O centro será os valores que zeram o lado direito, então:

C = - 1,3 , - 3

Arrasamos!!!!!!

Agora faltam apenas quatro, bora resolve-las?

Resposta

Paraboloide hiberbolico, com centro - 1,3 , - 3 e eixo O x

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