Enunciado

8. Identificar a superfície S e a sua interseção com o plano π dado. Representar graficamente esta interseção no plano π .

a )   S : y 2 - 4 z 2 - 2 x = 0       e       π : x - 2 = 0

Passo 1

FALÁ! Tudo bom, contigo?

Bem, eu não sei se você reparou, mas essa equação que o problema nos pede para identificar... Hmmmm! Não sei não, heim? Mas ela me parece com a equação de um paraboloide hiperbólico!

Será que é verdade isso? Venha comigo para você saber .

Passo 2

Bem! Sabemos que a equação de um paraboloide hiperbólico tem que ser mais ou menos algo do tipo:

z = y 2 a 2 - x 2 b 2

A nossa equação é assim:

y 2 - 4 z 2 - 2 x = 0   →

Se isolarmos o x ...

2 x = y 2 - 4 z 2   →

x = y 2 2 - 2 z 2   →

E ainda escrever...

x = y 2 2 - z 2 1 2     →

x = y 2 2 2 - z 2 1 2 2    

AHA! De fato, concluímos que é um paraboloide hiperbólico! A diferença, é que esse paraboloide em ao redor de x , por isso x ficou isolado e não z .

Passo 3

Para encontrar a tal da intersecção com o nosso plano π , basta resolver o sistema:

S : y 2 - 4 z 2 - 2 x = 0     π : x - 2 = 0

Pegando a segunda equação e isolando x ...

x = 2

Substituindo na equação de S ...

y 2 - 4 z 2 - 2 x = 0 →

y 2 - 4 z 2 - 4 = 0     →

y 2 - 4 z 2 = 4   →

y 2 4 - z 2 = 1   →

y 2 2 2 - z 2 1 2 = 1  

E o que é isso aí? SIM! Uma hipérbole ao redor do eixo y (cortantando esse eixo justamente em y = 2 )!

Resposta

Equação representa um paraboloide hiperbólico. Intersecção é uma hipérbole:

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