Enunciado

8. Identificar a superfície S e a sua interseção com o plano π dado. Representar graficamente esta interseção no plano π .

c )   S : z = - x 2 4 + y 2 9       e       π : z = 1

Passo 1

FALÁ! Tudo bom, contigo?

Bem, eu não sei se você reparou, mas essa equação que o problema nos pede para identificar... Hmmmm! Não sei não, heim? Mas ela me parece com a equação de um paraboloide hiperbólico!

Será que é verdade isso? Venha comigo para você saber .

Passo 2

Bem! Sabemos que a equação de um paraboloide hiperbólico tem que ser mais ou menos algo do tipo:

z = y 2 a 2 - x 2 b 2

A nossa equação é assim:

z = - x 2 4 + y 2 9   →

Se colocarmos o 4 e o 9 em forma de quadrado...

z = - x 2 2 2 + y 2 3 2   →

z = y 2 3 2 - x 2 2 2

AHA! De fato, concluímos que é um paraboloide hiperbólico ao redor do eixo z !

Passo 3

Para encontrar a tal da intersecção com o nosso plano π , basta resolver o sistema:

S : z = y 2 3 2 - x 2 2 2     π : z = 1

Substituindo z = 1 na equação de S ...

y 2 3 2 - x 2 2 2 = 1

E o que é isso aí? SIM! Uma hipérbole ao redor do eixo y (cortantando esse eixo justamente em y = 3 )!

Resposta

Equação representa um paraboloide hiperbólico. Intersecção é uma hipérbole:

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