Enunciado

Identifique a cônica, ache a equação no ultimo sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico. x 2 + 2 3 x y - y 2 + 6 x + 0 y = 0

Passo 1

Fala aeee, tudo na paz? 😊

Da equação da cônica tiramos que:

a = 1

b =   2 3

c = - 1

e = 6

f =   0

Portanto:

A =   a b 2 b 2 c = 1 3 3 - 1

Passo 2

O polinômio característico será dado por:

P λ = det ⁡ A - λ I 2 = 1 - λ 3 3 - 1 - λ = λ 2 - 4

λ 2 - 4 = 0

Temos como raízes do polinômio:

λ 1 = 2

λ 2 = - 2

Passo 3

Para determinarmos os vetores U   e   T .

Precisamos que:

A - 2 I 2 X   = 0 →

- 1 3 3 - 3 x y = 0 0

- x + 3 y = 0

x = 3 y

Solução Geral:

W = 3 α , α ; α ∈ R

Passo 4

Como a norma de w vale 1:

W = 1

W 2 = 1

3 α 2 + α 2 = 1

α =   ± 1 2

Assim, os eixos deslocados são expressos por:

U = 3 2 , 1 2

T = ( - 1 2 , 3 2 )

P = U , T = 3 2 - 1 2 1 2 3 2

Passo 5

e , f   x   P =   e 1 , f 1

6 0 x 3 2 - 1 2 1 2 3 2 = e 1 , f 1

e 1 , f 1 = [ 3 3 ,   - 3 ]

Agora que eliminamos o termo x y , podemos escrever a equação da nossa cônica:

∁ : x 2 + 2 3 x y - y 2 + 6 x + 0 y = 0 →   λ 1 x 1 2 + λ 2 y 1   2 + e 1 x 1 + f 1 y 1 = 0

∁ : 2 x 1 2 - 2 y 1   2 + 3 3 x 1 - 3 y 1 = 0

Equação de uma hipérbole.

Passo 6

Gráfico da cônica:

Resposta

∁ : 2 x 1 2 - 2 y 1   2 + 3 3 x 1 - 3 y 1 = 0

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Demonstre o teorema: a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0
Seja C o conjunto dos pontos do plano que satisfazem a equação, a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0 consideremos a matriz A = a b 2 b 2 c . Sejam λ e μ os autovalores de A. (a) Mostre que λ μ =