Enunciado

Identifique a quádrica, ache a equação no ultimo sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico. 144 x 2 + 81 z 2 + 100 y 2 - 216 x z - 540 x - 720 z = 0

Passo 1

Fala aeee, tudo na paz? 😊

Da equação da quádrica tiramos que:

a = 144

b =   100

c = 81

d = 0

e = - 216

f =   0

Portanto:

A =   a d / 2 e / 2 d / 2 b f / 2 e / 2 f / 2 c = 144 0 - 108 0 100 0 - 108 0 81

Passo 2

O polinômio característico será dado por:

P λ = det ⁡ A - λ I 3 = 144 - λ 0 - 108 0 100 - λ 0 - 108 0 81 - λ

= - λ 3 + 325 λ 2 - 22500 λ  

- λ 3 + 325 λ 2 - 22500 λ = 0

Temos como raízes do polinômio:

λ 1 = 0

λ 2 = 100

λ 3 = 225

Passo 3

Para determinarmos o vetor U .

Precisamos que:

A - 0 I 3 X   = 0 →

144 0 - 108 0 100 0 - 108 0 81 x y z = 0 0 0

144 x - 108 z = 0

4 x = 3 z

Solução Geral:

W 1 = 3 α , 0,4 α ; α ∈ R

Para determinarmos o vetor T .

Precisamos que:

A - 100 I 3 X   = 0 →

44 0 - 108 0 0 0 - 108 0 - 19 x y z = 0 0 0

44 x - 108 z = 0

44 x = 108 z

W 2 = 0 , α , 0 ; α ∈ R

Passo 4

Como a norma de W 1 vale 1:

W 1 = 1

W 1 2 = 1

9 α 2 + 16 α 2 = 1

α =   ± 1 5

Como a norma de W 2 vale 1:

W 2 = 1

W 2 2 = 1

α =   ± 1

Assim, os eixos deslocados U, T e U’ valem:

U = 3 5 , 0 ,   4 5

T = ( 0,1 , 0 )

U ' = U   x   T = ( - 4 5 , 0 , - 3 5 )

P = 3 5 0 - 4 5 0 1 0 4 5 0 - 3 5

Passo 5

Agora que eliminamos o termo x z , podemos escrever a equação da nossa quádrica:

Q : 144 x 2 + 81 z 2 + 100 y 2 - 216 x z - 540 x - 720 z = 0 →   λ 1 x 1 2 + λ 2 y 1   2 + λ 3 z 1 2 - 900 x 1 = 0

Q : 100 y 1   2 + 225 z 1 2 - 900 x 1 = 0

Equação de um parabolóide.

Passo 6

Gráfico da cônica:

Resposta

Q : 100 y 1   2 + 225 z 1 2 - 900 x 1 = 0

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Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y
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