Enunciado

Identifique a quádrica, ache a equação no ultimo sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico. 2 x 2 + 23 z 2 + 30 y 2 + 72 x z = - 150

Passo 1

Fala aeee, tudo na paz? 😊

Da equação da quádrica tiramos que:

a = 2

b =   30

c = 23

d = 0

e = 72

f =   0

Portanto:

A =   a d / 2 e / 2 d / 2 b f / 2 e / 2 f / 2 c = 2 0 36 0 30 0 36 0 23

Passo 2

O polinômio característico será dado por:

P λ = det ⁡ A - λ I 3 = 2 - λ 0 36 0 30 - λ 0 36 0 23 - λ = - λ 3 + 55 λ 2 + 500 λ - 37500

- λ 3 + 55 λ 2 + 500 λ - 37500 = 0

Temos como raízes do polinômio:

λ 1 = - 25

λ 2 = 30

λ 3 = 50

Passo 3

Para determinarmos o vetor U .

Precisamos que:

A + 25 I 3 X   = 0 →

27 0 36 0 55 0 36 0 48 x y z = 0 0 0

27 x + 36 z = 0

3 x = - 4 z

Solução Geral:

W 1 = - 4 α , 0,3 α ; α ∈ R

Para determinarmos o vetor T .

Precisamos que:

A - 30 I 3 X   = 0 →

- 28 0 36 0 0 0 36 0 - 7 x y z = 0 0 0

- 28 x + 36 z = 0

7 x = 9 z

W 2 = 0 , α , 0 ; α ∈ R

Passo 4

Como a norma de W 1 vale 1:

W 1 = 1

W 1 2 = 1

16 α 2 + 9 α 2 = 1

α =   ± 1 5

Como a norma de W 2 vale 1:

W 2 = 1

W 2 2 = 1

α =   ± 1

Assim, os eixos deslocados U, T e U’ valem:

U = - 4 5 , 0 ,   3 5

T = ( 0,1 , 0 )

U ' = U   x   T = ( - 3 5 , 0 , - 4 5 )

P = - 4 5 0 - 3 5 0 1 0 3 5 0 - 4 5

Passo 5

Agora que eliminamos o termo x y , podemos escrever a equação da nossa quádrica:

Q : 2 x 2 + 23 z 2 + 30 y 2 + 72 x z = - 150 →   λ 1 x 1 2 + λ 2 y 1   2 + λ 3 z 1 2 = - 150

Q : - 25 x 1 2 + 30 y 1   2 + 50 z 1 2 = - 150 ÷ - 150

Q : 1 6 x 1 2 - 1 5 y 1   2 - 1 3 z 1 2 = 1

Equação de um hiperbolóide de 2 folhas.

Passo 6

Gráfico da cônica:

Resposta

Q : 1 6 x 1 2 - 1 5 y 1   2 - 1 3 z 1 2 = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Justifique a afirmação feita na Observação 25-2(a). Examine as simetrias da quádrica Ω : x 2 + y 2 + 3 z 2 - 2 x y - 7 = 0 , em relação à origem, aos eixos coordenados e aos planos coordenados. Repita
Seja Ω : x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 c 2 = 1 um hiperboloide de uma folha. Prove que, se a ≠ b , toda as elipses contidas como interseção de Ω com planos paralelos a O x z são semelhantes. Prove que, se k
Seja Ω a quádrica de equação 4 x 2 + y 2 + 4 z 2 - 8 x - 4 y - 8 z + 8 = 0 . Complete quadrados para provar que Ω é um elipsoide. Faça uma translação do sistema de coordenadas para eliminar os termos
Nos casos em que a intersecção do plano π com o elipsoide Ω for uma elipse, determine seu centro, focos, vértices e excentricidade. Se for uma circunferência, determine o centro e o raio. Ω : x 2 64 +
Seja Ω : x 2 / a 2 + y 2 / b 2 + z 2 / c 2 = 1 . Deduza uma condição sobre os números a ,b ,c para que:as intersecções de Ω com planos paralelos a O x y sejam elipses semelhantes. as intersecções de Ω