Enunciado

Seja Ω : x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 c 2 = 1 um hiperboloide de uma folha.

  1. Prove que, se a ≠ b , toda as elipses contidas como interseção de Ω com planos paralelos a O x z   são semelhantes.
  2. Prove que, se k varia em ] - b ,   b [ , as interseções de Ω com o plano de equação y = k são hipérboles semelhantes.
  3. Prove que, se k varia na reunião dos intervalos ] - ∞ , - b [ e ] b ,   ∞ [ , as interseções de Ω com planos de equação y = k são hipérboles semelhantes.
  4. A que condições devem estar submetidos a ,   b e c para que as hipérboles do item (b) sejam semelhantes às do item (c)?

Passo 1

  1. Planos paralelos a O x z são planos do tipo y = k . Assim,
  2. x 2 a 2 + k 2 b 2 - z 2 c 2 = 1 ⟹ x 2 a 2 1 - k 2 b 2 - z 2 c 2 1 - k 2 b 2 = 1

    Assim, para k 1 ≠ k 2 , temos

    a 2 1 - k 1 2 b 2 a 2 1 - k 2 2 b 2 = c 2 1 - k 1 2 b 2 c 2 1 - k 2 2 b 2

    o que é verdadeiro, mostrando que é semelhante.

    Passo 2

  3. Note que todas as etapas acima continuam válidas se k 1 , k 2 ∈ ] - b ,   b [ .
  4. Passo 3

  5. Note que todas as etapas acima continuam válidas se k 1 ,   k 2 ∈ ] - ∞ ,   - b [ ∪ ] b ,   ∞ [ .
  6. Passo 4

  7. Note que se tomarmos a = c , a equação será válida para todo k 1 , k 2 ∈ R \ b .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos de E 3 que são equidistantes de π : x = 2 e P = - 2,0 , 0 , e identifique-o. Compare com a definição de parábola dada no Capítulo 22.
Prove que as equações abaixo descrevem paraboloides elípticos e esboce-os. x = y 2 a 2 + z 2 b 2 x = - y 2 a 2 - z 2 b 2 y = x 2 a 2 + z 2 b 2 y = - x 2 a 2 - z 2 b 2 z = - x 2 a 2 - y 2 b 2
Considere as selas Ω 1 : z = - x 2 a 2 + y 2 b 2 e Ω 2 : z = x 2 a 2 - y 2 b 2 . Como os segundos membros das equações são opostos um do outro, o esboço de Ω 2 pode ser obtido “virando de ponta-cabeça
Prove que são selas as quádricas descritas pelas equações x = y 2 a 2 - z 2 b 2 x = - y 2 a 2 + z 2 b 2 y = x 2 a 2 - z 2 b 2 y = - x 2 a 2 + z 2 b 2 z = x 2 a 2 - y 2 b 2
Prove que o paraboloide hiperbólico Ω : z = - x 2 a 2 + y 2 b 2 é uma superfície regrada, exibindo um conjunto de retas cuja reunião seja Ω . No caso particular em que a = b = 1 , obtenha vetores dire