Enunciado

Identifique a quádrica descrita pela equação dada.

(b) 3 x 2 + y 2 - 2 x y - 6 x + 2 y - 1 = 0

Passo 1

Bom, vamos dar uma olhada nessa equação:

3 x 2 + y 2 - 2 x y - 6 x + 2 y - 1 = 0

O nosso problema aqui é encontrar a equação reduzida.

Logo de cara aparece um problema: x y aparecem multiplicando um ao outro! Precisamos dar um jeito nisso.

A melhor forma de resolver esse tipo de problema é aplicando uma mudança de coordenadas.

Quando queremos nos livrar de termos do tipo a x y , é melhor usar uma rotação de coordenadas.

Passo 2

Como o nosso problema só está nas variáveis x e y , vamos fazer uma rotação no plano x y , ou seja, em torno do eixo z :

E vamos lembrar da matriz de rotação, que é uma forma fácil de lembrar como fica essa rotação.

No nosso caso, x e y são o resultado de uma rotação de u e v por um ângulo θ no sentido anti-horário:

cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ u v = x y

Essa matriz faz justamente isso: rotacionar as coordenadas por um ângulo θ no sentido anti-horário.

Multiplicando aquelas matrizes, encontramos o seguinte:

u cos ⁡ θ - v sen ⁡ θ u sen ⁡ θ + v cos ⁡ θ = x y

Beleza, agora vamos substituir essas expressões de x e y na equação lá de cima:

x = u cos ⁡ θ - v sen ⁡ θ

y = u sen ⁡ θ + v cos ⁡ θ

Passo 3

Voltando na nossa equação:

3 x 2 + y 2 - 2 x y - 6 x + 2 y - 1 = 0

Para simplificar, vamos começar olhando só para esses dois primeiros termos:

3 x 2 + y 2 - 2 x y

E vamos substituir com as expressões ali de cima:

x 2 = u cos ⁡ θ - v sen ⁡ θ 2 = u 2 cos 2 ⁡ θ - 2 u v cos ⁡ θ sen ⁡ θ + v 2 sen 2 ⁡ θ

y 2 = u sen ⁡ θ + v cos ⁡ θ 2 = u 2 sen 2 ⁡ θ + 2 u v sen ⁡ θ cos ⁡ θ + v 2 cos 2 ⁡ θ

E o termo misturando que causou problemas é:

2 x y = 2 u cos ⁡ θ - v sen ⁡ θ u sen ⁡ θ + v cos ⁡ θ

2 x y = 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ u 2 - v 2 + 2 u v cos 2 ⁡ θ - 2 u v sen 2 ⁡ θ

Isso tudo também ia ficar muito confuso se a gente somar as três expressões. Então primeiro vamos ver quais termos sobram com o produto u v .

n o   x 2         ⇒         - 2 u v cos ⁡ θ sen ⁡ θ = - u v sen ⁡ 2 θ

n o   y 2         ⇒           + 2 u v sen ⁡ θ cos ⁡ θ = u v sen ⁡ 2 θ

n o   2 x y         ⇒           2 u v cos 2 ⁡ θ - 2 u v sen 2 ⁡ θ = 2 u v   cos ⁡ 2 θ

Nessas simplificações aí de cima, nós usamos essas identidades aqui:

sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

Como a nossa expressão era:

3 x 2 + y 2 - 2 x y

Então, substituindo, esse termo aqui vai aparecer:

- 3 u v sen ⁡ 2 θ + u v sen ⁡ 2 θ - 2 u v   cos ⁡ 2 θ

- 2 u v sen ⁡ 2 θ + cos ⁡ 2 θ

Se a gente quiser que o termo com u v suma, precisamos de:

sen ⁡ 2 θ + cos ⁡ 2 θ = 0

sen ⁡ 2 θ = - cos ⁡ 2 θ

E qual o ângulo que tem seno e cosseno com mesmo módulo e sinais opostos? É o 135 ° , ou 3 π / 4 , então:

2 θ = 3 π 4

θ = 3 π 8

Passo 4

Beleza, com essa informação vamos voltar na equação original:

3 x 2 + y 2 - 2 x y - 6 x + 2 y - 1 = 0

A gente já viu que os três primeiros termos (quando tudo que multiplica u v some) ficam assim:

3 x 2 + y 2 - 2 x y

u 2 cos 2 ⁡ θ + v 2 sen 2 ⁡ θ + u 2 sen 2 ⁡ θ + v 2 cos 2 ⁡ θ - sen ⁡ 2 θ u 2 - v 2

E como sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 :

u 2 + v 2 - sen ⁡ 3 π 8 u 2 - v 2

E esse seno é:

sen ⁡ 3 π 8 = 2 2

Então:

u 2 + v 2 - 2 2 u 2 - v 2

1 - 2 2 u 2 + 1 + 2 2 v 2

Beleza, jogando isso no equação completa:

1 - 2 2 u 2 + 1 + 2 2 v 2 - 6 x + 2 y - 1 = 0

Simplificando um pouco:

2 - 2 2 u 2 + 2 + 2 2 v 2 - 6 x + 2 y - 1 = 0

E substituindo x e y de novo pelas coordenadas novas:

2 - 2 2 u 2 + 2 + 2 2 v 2 - 6 u cos ⁡ θ - v sen ⁡ θ + 2 u sen ⁡ θ + v cos ⁡ θ - 1 = 0

E colocando u e v em evidência:

2 - 2 2 u 2 + 2 + 2 2 v 2 + u 2 sen ⁡ θ - 6 cos ⁡ θ + v 6 sen ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ - 1 = 0

E como a gente já definiu θ = 3 π / 8 , todos esses termos nos parênteses são constantes!

Passo 5

Tá, pode parecer que está complicando de novo, mas olha só:

2 - 2 2 u 2 + 2 + 2 2 v 2 + u 2 sen ⁡ θ - 6 cos ⁡ θ + v 6 sen ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ - 1 = 0

Já dá pra identificar qual é a equação!

Já sabemos que ele é uma quádrica cilíndrica, porque temos só duas variáveis u e v .

Como as duas variáveis estão elevadas ao quadrado, ela não pode ser parabólica, que é desse tipo aqui:

y 2 = c x

E também não pode ser hiperbólica, porque nesse caso as duas variáveis teriam sinais diferentes:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Então ela tem que ser uma quádrica elíptica:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Porque as duas variáveis tem sinais iguais! Assim como na nossa equação: as duas constantes que multiplicam u 2 e v 2 são positivas!

2 - 2 2 ≅ 0,293 > 0

2 + 2 2 ≅ 1,59 > 0

Resposta

A equação é uma quádrica cilíndrica elíptica.

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