Enunciado

(a) Prove que a interseção de Ω : z 2 = x 2 a 2 + y 2 b 2 com qualquer plano que contém O z é reunião de duas retas concorrentes em O .

(b) Prove que existem planos contendo O y e existem planos contendo O x cuja interseção com Ω se reduz à origem.

Passo 1

Então pessoal, vamos começar olhando para aquele trecho ali “qualquer plano que contém O z ”.

Como é a “cara” de uma equação de um plano que contém O z ? Bom, O z é uma reta, certo? Uma reta que cruza a origem e vai na direção do eixo z .

Uma forma de descrever essa reta é com essas duas equações planares:

x = 0 y = 0

Certo? Porque nós estamos na interseção desses dois planos.

Quando a gente sabe as equações planares de uma reta, dá pra encontrar a equação do feixe de planos que contêm essa reta.

Se as equações planares da reta são:

f x , y , z = 0 g x , y , z = 0

Então a equação do feixe é:

α   f x , y , z + β   g x , y , z = 0

Então, no nosso caso:

α x + β y = 0

Passo 2

Agora vamos substituir isso lá na equação da superfície Ω :

z 2 = x 2 a 2 + y 2 b 2

Pela condição ali de cima:

α x + β y = 0

x = - β α y

E vamos chamar:

- β a = λ         ⇒           x = λ   y

Para facilitar a vida. Substituindo isso:

z 2 = λ 2 y 2 a 2 + y 2 b 2

z 2 = λ 2 a 2 + 1 b 2 y 2

E esse termo entre parênteses também é uma constante que a gente pode renomear:

A = λ 2 a 2 + 1 b 2

Então:

z 2 = y 2

Passo 3

Mas que lugar geométrico é esse? Vamos tirar a raiz quadrada dos dois lados:

z 2 = y 2

Isso é o mesmo que:

z = y

E essa fórmula tem duas interpretações possíveis:

z = y z = - y

Essas equações descrevem dois planos como esses:

Quando esses planos intersectam uma superfície, o resultado são duas retas concorrentes, conforme esperado.

Passo 4

(b) Agora queremos mostrar que a interseção de Ω com planos que intersectam O x e O y pode ser só a origem.

Para isso vamos lembrar da fórmula para o feixe de planos que contém uma reta. Se as equações planares da reta são:

f x , y , z = 0 g x , y , z = 0

Então a equação do feixe é:

α   f x , y , z + β   g x , y , z = 0

A reta que intersecta O x tem como equações planares:

y = 0 z = 0

Afinal de contas, essa é a reta que contém a origem e está na direção do eixo x (é o próprio eixo na verdade!).

E então a equação do feixe é:

α 1 y + β 1 z = 0

A reta que intersecta O y tem como equações planares:

x = 0 z = 0

Então:

α 2 x + β 2 z = 0

Passo 5

E agora vamos ver como isso se comporta quando a gente joga na fórmula da superfície Ω :

z 2 = x 2 a 2 + y 2 b 2

Começando pelos planos que contém O x :

α 1 y + β 1 z = 0

z = - α 1 β 1 y

Substituindo isso:

α 1 2 β 1 2 y 2 = x 2 a 2 + y 2 b 2

α 1 2 β 1 2 - 1 b 2 y 2 = x 2 a 2

E essa equação tem solução sempre que esse coeficiente multiplicando o y 2 for positivo:

α 1 2 β 1 2 - 1 b 2 > 0

α 1 2 β 1 2 > 1 b 2

Como α 1 e β 1 são parâmetros livres, essa solução sempre vai existir, isso quer dizer que sempre existem planos que intersectam Ω .

E tanto a equação dos planos quanto as de Ω cruzam a origem:

α 1 y + β 1 z = 0 z 2 = x 2 a 2 + y 2 b 2

Porque as duas equações aceitam a solução x = y = z = 0 .

Passo 6

Quando pegamos o outro feixe de planos:

α 2 x + β 2 z = 0

O argumento é totalmente análogo, é só trocar y por x :

z = - α 2 β 2 x

Substituindo isso:

α 2 2 β 2 2 x 2 = x 2 a 2 + y 2 b 2

α 2 2 β 2 2 - 1 a 2 x 2 = y 2 b 2

E a condição que sempre vai ter solução é:

α 2 2 β 2 2 - 1 a 2 > 0

α 2 2 β 2 2 > 1 a 2

Então sempre existe interseção, e as duas equações aceitam a origem como solução.

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y