Enunciado

Identifique a quádrica descrita pela equação dada.

(f) x 2 + 4 x y + 4 y 2 + 6 x + 12 y + 5 = 0

Passo 1

Uma coisa que pode facilitar muito a nossa vida na hora de interpretar uma quádrica é achar alguma forma de fatorar a equação.

Algumas equações dão uma “dica” de que dá pra fatorar elas sem fazer muitas contas. Se a gente olhar para a nossa equação:

x 2 + 4 x y + 4 y 2 + 6 x + 12 y + 5 = 0

A dificuldade maior mesmo está nos três primeiros termos! Os outros a gente pode ajustar completando quadrados.

Então vamos olhar para esses três primeiros termos.

Passo 2

Vamos trabalhar em cima do seguinte:

x 2 + 4 x y + 4 y 2 + f x , y

Onde esse f x , y representa os termos lineares!

Os três primeiro termos formam um produto notável!

x + 2 y 2 = x 2 + 4 x y + 4 y 2

A nossa equação quádrica vai ficar assim então:

x 2 + 4 x y + 4 y 2 + f x , y

x + 2 y x + 2 y + 6 x + 12 y + 5 = 0

Ok, vamos ver aonde isso leva.

Passo 3

Para incluir os termos lineares, nós só precisamos colocar algumas constantes dentro dos parênteses.

Ou seja:

x + 2 y + A x + 2 y + B = x + 2 y x + 2 y + 6 x + 12 y + 5

Abrindo os parênteses do lado esquerdo:

x + 2 y + A x + 2 y + B = x 2 + 2 x y + B x + 2 x y + 4 y 2 + 2 B y + A x + 2 A y + A B

x + 2 y + A x + 2 y + B = x 2 + 4 x y + 4 y 2 + B x + 2 B y + A x + 2 A y + A B

Agora vamos colocar de volta na igualdade ali de cima:

x 2 + 4 x y + 4 y 2 + B x + 2 B y + A x + 2 A y + A B = x + 2 y x + 2 y + 6 x + 12 y + 5

Reagrupando os termos quadráticos no produto notável:

x + 2 y x + 2 y + B x + 2 B y + A x + 2 A y + A B = x + 2 y x + 2 y + 6 x + 12 y + 5

Agora podemos cortar os dois produtos fatorados:

B x + 2 B y + A x + 2 A y + A B = 6 x + 12 y + 5

E então vamos colocar alguns termos em evidência:

B + A x + 2 B + 2 A y + A B = 6 x + 12 y + 5

Passo 4

E isso é um sistema que nós podemos resolver para achar A e B . As variáveis tem que ter os mesmos coeficientes dos dois lados:

B + A x + 2 B + 2 A y + A B = 6 x + 12 y + 5

Então:

B + A = 6 2 B + 2 A = 12 A B = 5

A primeira e a segunda equação são as mesmas, então vamos descartar a segunda:

B + A = 6 A B = 5

Substituindo a primeira equação na segunda:

6 - B B = 5

6 B - B 2 - 5 = 0

B 2 - 6 B + 5 = 0

E dá pra fatorar esse polinômio do segundo grau:

B - 5 B - 1 = 0

Ou seja, as raízes são:

B = 5         ⇒           A = 1

B = 1         ⇒           A = 5

Então a fatoração final pode ser:

x + 2 y + 1 x + 2 y + 5 = 0

Que é a equação de dois planos:

π 1 : x + 2 y + 1 = 0

π 2 : x + 2 y + 5 = 0

Como as equações tem os mesmos coeficientes em x e y , sabemos que os planos são paralelos.

Resposta

A equação representa dois planos paralelos: π 1 : x + 2 y + 1 = 0 e π 2 : x + 2 y + 5 = 0 .

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