Enunciado

Identifique, em cada caso, a quádrica cilíndrica descrita pela equação dada e comente a posição das geratrizes em relação aos eixos coordenados.

(a) y 2 a 2 + z 2 b 2 = 1

(b) z 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

(c) z 2 = c x

(d) x 2 a 2 + z 2 b 2 = 1

(e) y 2 = c z

(f) x 2 a 2 - z 2 b 2 = 1

Passo 1

(a) A primeira equação é:

y 2 a 2 + z 2 b 2 = 1

Que é exatamente a equação reduzida da quádrica cilíndrica elíptica.

Nesse caso, a variável ausente da equação é x , então a geratriz tem que ser paralela ao eixo O x .

Bem tranquilo né? Só precisamos fazer a mesma análise para os próximos itens. Aqui não tem jeito, você precisa conhecer as formas reduzidas das equações.

Passo 2

(b) A próxima equação é:

z 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Essa é a equação de uma quádrica cilíndrica hiperbólica.

A variável ausente é x , então a geratriz é paralela ao eixo O x .

Passo 3

(c) A próxima equação é:

z 2 = c x

Que é a equação de uma quádrica cilíndrica parabólica.

A variável ausente é y , então a geratriz é paralela ao eixo O y .

Passo 4

(d) Agora temos:

x 2 a 2 + z 2 b 2 = 1

Que é a equação de uma quádrica cilíndrica elíptica, igual a que vimos no item (a). Mas agora a variável ausente é y , então a geratriz é paralela ao eixo O y .

Passo 5

(e) A próxima equação é:

y 2 = c z

Mais uma vez, essa é a equação de uma quádrica cilíndrica parabólica. E como a variável ausente é x , a geratriz é paralela ao eixo O x .

Passo 6

(f) Para finalizar, temos essa equação aqui:

x 2 a 2 - z 2 b 2 = 1

Que, assim como o item (b) é uma quádrica cilíndrica hiperbólica. Mas agora a variável ausente é y , então a geratriz é paralela ao eixo O y .

Resposta

(a) Elíptica, geratriz paralela a O x .

(b) Hiperbólica, geratriz paralela a O x .

(c) Parabólica, geratriz paralela a O y .

(d) Elíptica, geratriz paralela a O y .

(e) Parabólica, geratriz paralela a O x .

(e) Hiperbólica, geratriz paralela a O y .

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