Enunciado

Se a b c d = m e a matriz de uma rotação em torno da origem, mostre que as colunas de m são vetores unitários ortogonais e o mesmo vale para as linhas.

Passo 1

Olá galera! tudo bem?

Bora junto resolver mais um problema!

Este exercício vai requerer um pouco mais de domínio algébrico, já que o mesmo se trata de uma demonstração.

Preparado?

Então temos um operador de rotação descrito como R   :   R ²   →   R ² , que leva cada vetor v no vetor   T ( v ) que dele resulta pela rotação de ângulo θ em torno da origem.

Inicialmente vamos supor que eles são vetores da base canônicas descritas como:

T e 1 =   a ,   c = T 1,0 = (   c o s θ , s e n θ ) e T e 2 =   b , d = T 0,1 = ( - s e n θ , c o s θ )

De modo que a matriz m agora canônica será descrita como:

  T e 1 T e 2 | = [ c o s θ - s e n θ s e n θ c o s θ ]

Como temos uma matriz de rotação se x = (x,y) for um vetor em R² e se w= (w1,w2) for sua imagem por essa rotação, então a reação w= mx pode ser dada em termos de sua componentes

x c o s θ - y s e n θ =   w 1 x s e n θ + y c o s θ =   w 2

Com isso provamos que as colunas e linhas da matriz de rotação são vetores, pois sói vetores podem ser escrito em termos de suas componentes.

Prontinho, acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Quais das matrizes abaixo tem uma linha que é combinação linear das outras duas? 1 3 3 2 1 1 2 2 31 3 3 2 1 1 1 8 82 1 1 - 1 2 3 3 4 51 2 3 4 5 6 7 8 9
Seja p (m) = 2 m^3 - 5 m^2 + 7 m - 6 I_3 . Se n é invertível mostre que n^(- 1) p (m) n = p ( n^(- 1) m n )
Dada a matriz: m = - 3 5 4 5 4 5 3 5 Mostre que m 2 = I 2 . Ache números α , β tais que a matriz p = α m + β I 2 cumpra p 2 = p e seja não-nula. A partir daí, encontre uma matriz não-nula q tal que p
Prove que a multiplicação de matrizes é uma operação associativa: m n p = m ( n p ) .
Efetuada a mudança de eixos dada pela matriz do exercício anterior (sem mover a origem), determine os ângulos que cada um dos novos eixos forma com o antigo. m = 1 7 2 6 x 3 2 y 6 - 3 z