Enunciado

Seja X um conjunto no espaço que contém pelo menos dois pontos. Suponha que X tem a seguinte propriedade: a reta que une dois pontos quaisquer de X está contida inteiramente em X . Prove que X é uma reta, um plano ou o espaço todo.

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos entendendo o problema, nele o espaço   X tem no mínimo dois pontos, sabemos pelo axioma da álgebra que por dois pontos somente passa uma reta.

Então devemos prova que essa reta é convexa, pois uma reta convexa passar um plano ou espaço.

Preparado vamos lá então!

Sabemos pelo nosso livro texto que a intersecção de dois conjuntos convexos é convexa.

Portanto, se X é um conjunto convexo, a interseção de S com uma linha é convexa

Por outro lado, suponha que a interseção de com qualquer linha seja convexa.

Tome quaisquer dois pontos distintos x 1   e   x 2   ∈   X .

A interseção de X com a linha que passa por x 1   e   x 2 é convexa. Portanto, combinações convexas de x 1   e   x 2 pertencem à interseção, portanto, também a X .

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Várias vezes, nas páginas anteriores, foi citada e usada a propriedade de que as diagonais de um paralelogramo cortam-se mutuamente ao meio. Dado um paralelogramo A B C D , escolha um sistema de coord
Considere o plano π : 2 x + 2 y - z = 0 .Determine as retas r, interseção do plano π com o plano yz, s, interseção do plano π com o plano xz e t, interseção do plano π com o plano z = 2. Desenhe um es