Enunciado

Qual é a matriz M 2 × 2 associada à forma bilinear de R 2 × R 2 → R que dá o produto interno usual de R 2 ?

Passo 1

Queremos:

B x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2

Vamos proceder conforme a sessão 10.3 .

Primeira linha:

B 1,0 , 1,0 = 1 ; B 1,0 , 0,1 = 0

Segunda linha:

B 0,1 , 1,0 = 0 ; B 0,1 , 0,1 = 1

Logo:

M = 1 0 0 1

Resposta

M = 1 0 0 1

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Em 2b) você deve ter mostrado que todo produto interno é uma forma bilinear. A recíproca é verdadeira?
Seja A : R 3 → R 3 → R definida por A x , y , z , x ' , y ' , z ' = x y ' + x z ' - y x ' - z y ' + z z ' . Ache a matriz de A em relação às bases i ) canônica i i ){ 1,1 , 1 , 1,1 , 0 , ( 0,1 , 0 ) }
Considere o conjunto V * , formado por todas as formas lineares T : V → R , onde V é um espaço vetorial de dimensão n , e V * é chamado de espaço dual de V .Mostre que V * é um espaço vetorial.Mostre
Provar que se f : U × V ⟶ R e g : U × V ⟶ R são bilineares, então f + g e λ f são bilineares ( λ ∈R ) .
Seja f : U × V ⟶ R uma forma bilinear. Seja u 0 um vetor fixo de U . Se W = v ∈ V f u 0 ,v = 0 } , prove que W é um subespaço vetorial de V .