Enunciado

Em 2b) você deve ter mostrado que todo produto interno é uma forma bilinear. A recíproca é verdadeira?

Passo 1

Bom, primeiro temos que esclarecer a recíproca:

Toda forma bilinear é um produto interno.

Será que isso é verdade sempre? Vamos investigar.

Passo 2

Uma propriedade fundamental do produto interno é a comutatividade. Será que toda forma bilinear é comutativa?

Pelas suas propriedades, observamos que isso não precisa ser sempre verdade! Do que não podemos afirmar que toda forma bilinear é um produto interno.

Resposta

Não.

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Seja A x , y , x ' , y ' = 3 x x ' - y y ' . Ache a forma quadrática Q :R 2 → R associada a A .Seja Q x , y = 2 x 2 + 4 x y - y 2 . Ache a matriz da forma bilinear associada.
Seja Q x , y = x 2 + 12 x y - 4 y 2 . Determine uma base β tal que v β = x 1 y 1eQ v = a x 1 2 + b y 1 2
Se M = - 1 2 3 2 , ache a forma bilinear B : R 2 × R 2 → R associada à matriz M . Esta forma bilinear é simétrica?
Uma forma quadrática Q é chamada positiva definida, se para todo v ≠ 0 , Q v0 .Como devem ser os autovalores da matriz de uma forma quadrática postiva definida? (Pense na matriz diagonalizada.)A forma
Seja f uma forma linear de R 2 em R tal que f x , y = - x + 2 y Sejam α = { 1 , - 1 , ( 2,0 ) } e β = { - 1 } bases de R 2 e R respectivamente. Se v α = - 3 5 , calcule f v β .