Enunciado

Para matrizes quadradas, A = ( a i j ) n x n definimos o traço de A como sendo a soma dos elementos da diagonal (principal) de A, ou seja, tr(A) = ∑ i = 1 n a i i .

b) Mostre que tr(αA) = αtr(A)

Passo 1

Dada uma matriz A quadrada:

A =   a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n

tr(A) = a 11 + a 22 + a 33 + … + a n n

Passo 2

O produto de A pelo escalar α é dado por:

α A =   α a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n

α A =   α a 11 α a 12 α a 21 α a 22 ⋯ ⋯ α a 1 n α a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ α a n 1 α a n 2 ⋯ α a n n

Ou seja,

tr( α A) = α a 11 + α a 22 + α a 33 + … + α a n n

Passo 3

Visto que αtr(A) pode ser escrito na forma:

αtr(A) = α ( a 11 + a 22 + a 33 + … + a n n ) =   α a 11 + α a 22 + α a 33 + … + α a n n  

tr(αA) = αtr(A)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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