Enunciado

Dizemos que uma matriz A, nxn, é simétrica se A t = A e é anti-simétrica se A t = - A .

d) Mostre que se A e B são anti-simétricas, então então A+B e αA são anti-simétricas, para todo escalar α.

Passo 1

Dadas matrizes A e B quadradas, podemos escrevê-las como:

A =   a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ,   B =   b 11 b 12 b 21 b 22 ⋯ ⋯ b 1 n b 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n n

Passo 2

Se A e B são anti-simétricas, A t = - A e B t = - B . Desse modo:

( A + B ) t = A t + B t = - A - B .

Dessa forma, podemos dizer que:

( A + B ) t =   - ( A + B ) , provando o argumento de simetria.

Passo 3

Como foi dito, se A é anti-simétrica, A t = - A .

( α A ) t = α ( A t ) , visto que α é um escalar e não possui transposta.

Assim:

( α A ) t = α A t =   α ( - A ) , para todo α .

Dessa forma, ( α A ) t =   - α A , provando a simetria

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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