Enunciado

Mesma questão, com x n + 4 = 5 x n + 3 - 5 x n + 2 - 5 x n + 1 + 6 x n .

Passo 1

Oi, tudo bem? Bora resolver mais um exercício?

Se não se lembra desse conteúdo, é hora de dar aquela revisão. Ok?

Para

x n + 4 = 5 × x n + 3 - 5 × x n + 2 - 5 × x n + 1 + 6 × x n ,   ∀ n ∈ N .

Vamos tomar n = k - 3 e, portanto,

x k + 1 = 5 × x k - 5 × x k - 1 - 5 × x k - 2 + 6 × x k - 3 ∈ R ∞ .

E, dado α ∈ R ,

α × x k + 1 = α × ( 5 × x k - 5 × x k - 1 - 5 × x k - 2 + 6 × x k - 3 )

= 5 × α × x k - 5 × α × x k - 1 - 5 × α × x k - 2 + 6 × α × x k - 3 ∈ R ∞ .

Passo 2

Vamos lá!

Logo, o conjunto formado por estas sequências, S , é subespaço vetorial de R ∞ .

Seja sequências da forma σ n = q n ,   q ≠ 0 , elementos da base de S .

Se q n é solução, temos:

q n + 1 = 5 × q n - 5 × q n - 1 - 5 × q n - 2 + 6 × q n - 3

Dividindo a expressão por q n - 3 ,   temos.

q 4 - 5 × q 3 + 5 × q 2 + 5 × q - 6 = 0

Como 1   é raiz, podemos escrever

q - 1 × q - 2 × q - 3 × q + 1 = 0

Resposta

Pelo exercício anterior,

{ 1,2 n , 3 n , - 1 n } É uma base de S .

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5. Seja a n o número de sequências de “1” e “2” cuja soma dos termos é n. Provar que a n + 1 = a n + a n - 1 . Deduzir a expressão de a n .