Enunciado

Mesma questão, com x_n + 4 = 5 x_n + 3 - 5 x_n + 2 - 5 x_n + 1 + 6 x_n .

Passo 1

Oi, tudo bem? Bora resolver mais um exercício?

Se não se lembra desse conteúdo, é hora de dar aquela revisão. Ok?

Para

x_n + 4 = 5 xx x_n + 3 - 5 xx x_n + 2 - 5 xx x_n + 1 + 6 xx x_n , AA n in N .

Vamos tomar n = k - 3 e, portanto,

x_k + 1 = 5 xx x_k - 5 xx x_k - 1 - 5 xx x_k - 2 + 6 xx x_k - 3 in R^(oo) .

E, dado alpha in R ,

alpha xx x_k + 1 = alpha xx ( 5 xx x_k - 5 xx x_k - 1 - 5 xx x_k - 2 + 6 xx x_k - 3 )

= 5 xx (alpha xx x_k) - 5 xx (alpha xx x_k - 1) - 5 xx (alpha xx x_k - 2) + 6 xx (alpha xx x_k - 3) in R^(oo) .

Passo 2

Vamos lá!

Logo, o conjunto formado por estas sequências, S , é subespaço vetorial de R^(oo) .

Seja sequências da forma sigma (n) = q^n , q != 0 , elementos da base de S .

Se q^n é solução, temos:

q^(n + 1) = 5 xx q^n - 5 xx q^(n - 1) - 5 xx q^(n - 2) + 6 xx q^(n - 3)

Dividindo a expressão por q^(n - 3) , temos.

q^4 - 5 xx q^3 + 5 xx q^2 + 5 xx q - 6 = 0

Como 1 é raiz, podemos escrever

(q - 1) xx (q - 2) xx (q - 3) xx (q + 1) = 0

Resposta

Pelo exercício anterior,

{ 1,2^n , 3^n , (- 1)^n } É uma base de S .

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5. Seja a n o número de sequências de “1” e “2” cuja soma dos termos é n. Provar que a n + 1 = a n + a n - 1 . Deduzir a expressão de a n .