Enunciado

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( x 0 ,   x 1 , ,   x m , ) tais que x n + 1 = a x n + b x n - 1 . Achar uma base de S nos casos:

Passo 1

Oi, tudo bem? Bora resolver mais um exercício?

Se não se lembra desse conteúdo, é hora de dar aquela revisão. Ok?

Seja S o conjunto das sequências recorrentes lineares de ordem 2 , com coeficientes a e b .

Consideramos ( x 0 , x 1 ,   ⋯ ) e ( y 0 , y 1 ,   ⋯ ) em S , e α ∈ R .

Passo 2

Vamos lá! Daí,

i )   x n + 1 + y n + 1 = a × x n + b × x n - 1 + a × y n + b × y n - 1

= a × x n + y n + b × x n - 1 + y n - 1 ∈ R

E,

i i )   α × x n + 1 = α × a × x n + b × x n - 1 = a × α × x n + b × α × x n - 1 ∈ R ∞

∀ n ≥ 1 Temos que S   é subespaço vetorial.

Passo 3

De 1 a , temos:

q 2 - a × q - b = 0 ⇒ q 2 + q - 2 = 0 ⇒ q 1 = - 2   e   q 2 = 1 .

Considerando

σ 1 n = ( - 2 ) n   e   σ 2 n = 1 ,

σ 1 , σ 2 São L .   I . E dim ⁡ S = 2 , logo é base.

Portanto,

- 2 n , 1 É uma base, nesse caso.

Resposta

- 2 n , 1

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