Enunciado

Seja S o subconjunto das sequências ( x 0 ,   x 1 , … ,   x n , … ) tais que x n + 3 = 6 x n + 2 - 11 x n + 1 + 6 x n . Provar que S é subespaço vetorial dos reais infinito e encontrar uma base.

Passo 1

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Seja S o conjunto das sequências x 0 , x 1 , ⋯ ,   x n , ⋯ ∈ R ∞   tais que:

x n + 3 = 6 × x n + 3 - 11 × x n + 3 + 6 × x n ,   ∀ n ∈ N .

Tome n = k - 2 , daí, observe que:

x k + 1 = 6 × x k - 11 × x k - 1 + 6 × x k - 2 ∈ R ∞

α × x k + 1 = α × 6 × x k - 11 × x k - 1 + 6 × x k - 2

6 × α × x k ) - 11 × ( α × x k - 1 ) + 6 × ( α × x k - 2 ∈ R ∞

Logo, S ≤ R ∞ (subespaço).

Passo 2

Vamos lá! Vamos calcular uma base de S formada por sequências da forma σ n = q n com q ≠ 0 .

Se q n é uma solução, temos que:

q n + 1 = 6 × q n - 11 × q n - 1 + 6 × q n - 2 .

Dividindo por q n - 2 , temos:

q 3 = 6 × q 2 - 11 × q + 6 ⇒ q 3 - 6 × q 2 + 11 × q - 6 = 0 .

Claramente 1 é raiz, e dividindo a expressão por q - 1 , temos:

q 3 - 6 × q 2 + 11 × q - 6 = q - 1 × q - 2 × ( q - 3 )

⇒ q 1 = 1 ,   q 2 = 2   e   q 3 = 3 .

Resposta

Tomando σ 1 n ,   σ 2 n ,   σ 3 n = 1 ,   2 n , 3 n , temos que esta é uma base desse subespaço.

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