Enunciado

Mostrar que as matrizes:

[[[1,1],[0,0]]] , [[[2,1],[0,0]]] , [[[0,1],[1,0]]] e [[[0,0],[0,2]]]

Forma uma base de M_2 ( R ) .

Passo 1

Beleza então galera, suponha que a matriz geral de M_2 ( R ) seja

A = [[[a,b],[c,d]]]

Como a gente é malandreiro bora transformar essa matriz, pasmem, em um vetor. Vem cá comigo que eu te conto. Como temos 4 coordenadas, a , b , c e d , vamos montar um vetor de 4 coordenadas, ou seja

A = [[[a,b],[c,d]]] = ( a , b , c , d )

Então quer dizer que se minha matriz 2 xx 2 pode ser representada também por um vetor de R^4 , e eu preciso de 4 vetores L.I para ter uma base de R^4 então para o espaço M_2 ( R ) eu vou precisar de 4 matrizes, ou melhor, 4 vetores L.I, para gerar esse espaço. Então bora passar essas matriz pra forma de um vetor, e verificar se eles são L.I.

Passo 2

O conjunto de matrizes que temos é

[[[1,1],[0,0]]] , [[[2,1],[0,0]]] , [[[0,1],[1,0]]] e [[[0,0],[0,2]]]

Logo

[[[1,1],[0,0]]] = ( 1 , 1 , 0 , 0 )

[[[2,1],[0,0]]] = ( 2 , 1 , 0 , 0 )

[[[0,1],[1,0]]] = ( 0 , 1 , 1 , 0 )

[[[0,0],[0,2]]] = ( 0 , 0 , 0 , 2 )

Passo 3

E agora colocando esses vetores na forma de uma matriz e escalonando temos que

[[[1,1,0,0],[2,1,0,0],[0,1,1,0],[0,0,0,2]]] => [[L_1,=,L_1,-,L_2],[],[],[]] = [[[-,1,0,0,0],[2,1,0,0],[0,1,1,0],[0,0,0,2]]]

E voilá, temos uma matriz triangular superior, isso quer dizer que todas as suas linhas são L.I, o que faz com que todas as matrizes representadas por esses vetores, também sejam L.I, logo o conjunto {[[[1,1],[0,0]]] , [[[2,1],[0,0]]] , [[[0,1],[1,0]]] , [[[0,0],[0,2]]]} é uma base de M_2 ( R ) .

Resposta

Demonstração.

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