Enunciado

Suponha que { u 1 , … ,   u n } é uma base de um espaço vetorial. Mostrar que { u 1 ,   u 1 + u 2 , … ,   u 1 + u 2 + … + u n } também é uma base desse espaço.

Passo 1

Nessa questão, devemos utilizar da definição das bases para extrair alguma conclusão.

Se { u 1 , … ,   u n } é uma base de um espaço vetorial V , por exemplo, então todo vetor v ∈ V pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores { u 1 , … ,   u n } tal que

v = α 1 u 1 + α 2 u 2 + … + α n u n

v = ∑ i = 1 n α i u i

Sendo a i   um escalar real

Passo 2

Vamos também analisar a base { u 1 ,   u 1 + u 2 , … ,   u 1 + u 2 + … + u n } . Se ela é base de V então, todo vetor v ' pode ser escrito da forma

v ' = α 1 ' u 1 + α 2 ' u 1 + u 2 + … + α n ' ( u 1 + u 2 + … + u n )

Passo 3

Analisando a expressão que define o vetor v ' vemos que eles podem ser escritos como combinações de vetores v . Para ficar claro, podemos reorganizar a expressão da forma:

v ' = α 1 ' u 1 + α 2 ' u 1 + α 2 ' u 2 + … + α n ' u 1 + α n ' u 2 + … + α n ' u n - 1 + α n ' u n

v ' = α 1 ' u 1 + α 2 ' u 2 + … + α n ' u n + α 2 ' u 1 + … + α n ' u n - 1

v ' = ∑ i = 1 n α i ' u i + ∑ i = 2 n α i ' u i - 1

v ' = v + ∑ i = 2 n α i ' u i - 1

E podemos chamar v ' ' como um vetor escrito como uma base de um sub-espaço dentro do espaço gerado por { u 1 , … ,   u n } uma vez que tem n - 1 elementos. Então v ' ' também pertence a esse espaço. Logo:

v ' ' = ∑ i = 2 n α i ' u i - 1

v ' = v + v ' '

Passo 4

Como { u 1 , … ,   u n } é Linearmente Independente, { u 1 ,   u 1 + u 2 , … ,   u 1 + u 2 + … + u n } também é. E como v ' pode ser escrito como uma combinação de vetores v do espaço gerado por { u 1 , … ,   u n } e v ' ' que também está nesse espaço, todo vetor v ' também está nesse espaço gerado por { u 1 , … ,   u n } .

Então u 1 ,   u 1 + u 2 , … ,   u 1 + u 2 + … + u n também é base para o espaço gerado por u 1 , … ,   u n }

Pronto! Era isso que a questão pedia!

Resposta

u 1 ,   u 1 + u 2 , … ,   u 1 + u 2 + … + u n também é base para o espaço gerado por u 1 , … ,   u n }

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar uma base e a dimensão do sub-espaço de M 3 R constituído das matrizes anti-simétricas.
Sendo W o sub-espaço do exercício 1 e U o sub-espaço do R 4 gerado por 1 ,2 ,1 ,3 e ( 3 ,1 ,- 1 ,4 ) , determinar uma base e a dimensão de U + W e de U ∩ W .
Sendo W e U sub-espaços do R 4 de dimensão 3, que dimensões pode ter W + U se 1 ,2 ,1 ,0 ,- 1 ,1 ,0 ,1 ,( 1 ,5 ,2 ,1 ) é um sistema de geradores de W ∩ U ?
No espaço vetorial R 3 consideremos os seguintes sub-espaços: U = x ,y ,z x = 0 , V = x ,y ,z y - 2 z = 0e W = 1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,2 . Determinar uma base e a dimensão de cada um dos seguintes sub-espaços: