Enunciado

Mostrar que a soma de dois produtos internos sobre um espaço V também é um produto interno sobre V .

Passo 1

Vamos lá! Seja p 1 e p 2 dois produtos internos. Iremos mostrar que p = p 1 + p 2 satisfaz as propriedades de produto interno. Beleza?

  1. p a + b , c = p 1 a + b , c + p 2 a + b , c = p 1 a , c + p 1 b , c + p 2 a , c + p 2 b , c = p 1 a , c + p 2 a , c + p 1 b , c + p 2 b , c = p a , c + p b , c
  2. p k a , b = p 1 k a , b + p 2 k a , b = k p 1 a , b + k p 2 a , b = k p 1 a , b + p 2 a , b = k p ( a , b )
  3. Se a ≠ 0 ,   p 1 a , a > 0   e   p 2 a , a > 0 .

Portanto, p a , a = p 1 a , a + p 2 a , a > 0 .

Com isso concluímos que a soma de dois produtos internos sobre um espaço V também é um produto interno sobre V .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Sejam u ev dois vetores não nulos de um espaço vetorial euclidiano. Sendo θ o ângulo de uev , mostrar que u + v 2 = u 2 + v 2 + 2 u v cos ⁡θ . (Esta igualdade é conhecida como lei dos cossenos na geom
Sejam u = ( x 1 , x 2 ) e v = ( y 1 , y 2 ) vetores genéricos do R 2 e M = a 1 1 a 1 2 a 2 1 a 22 ∈M n ( R ) .Definamos u , v = a 11 x 1 y 1 + a 1 2 x 1 y 2 + a 2 1 x 2 y 1 + a 22 x 2 y 2 .Mostrar que
Sejam e 1 , e 2 , … , e r vetores unitários de um espaço euclidiano tais que e i - e j = 1 (sempre que i ≠ j ) . Calcule o cosseno do ângulo entre dois vetores e i e e j .
Determinar a norma de cada um dos seguintes vetores: u = ( 3,1 , 2,1 ) ∈R 4 ; f t = t 2 + t - 1 , em relação ao produto interno f t , g t = ∫ 0 1 f t g t d t ; A = 1 2 2 1 em relação ao produto do exe