Enunciado

Sejam e 1 , e 2 , … , e r   vetores unitários de um espaço euclidiano tais que e i - e j = 1 (sempre que i ≠ j ) . Calcule o cosseno do ângulo entre dois vetores e i   e e j .

Passo 1

Falaaa... Belezinha???

Antes de mais nada vamos pegar tudo que o enunciado nos fala.

Ele nos diz que e 1 ,   e 2 , … ,   e r são vetores unitários, então já sabemos que a norma de cada um é igual a 1:

e 1 = e 1 = … = e r = 1

Então, de forma geral:

e i = e j = 1

E também foi dado que e i - e j = 1 (sempre que i ≠ j ) .

E vamos precisar lembrar da lei dos cossenos:

a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos ⁡ θ

Passo 2

Bom... Se i = j não tem muito que a gente fazer, né? É como se um vetor estiver em cima do outro, formando um ângulo de 0 graus.

cos ⁡ 0 = 1

Maaas se i ≠ j , podemos representar assim, de forma meio aleatória:

Daí a gente vai precisar aplicar a lei dos cossenos:

e i - e j 2 = e i 2 + e j 2 - 2 e i e j cos ⁡ θ

E substituindo os valores:

1 2 = 1 2 + 1 2 - 2 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ cos ⁡ θ

2 cos ⁡ θ = 1

cos ⁡ θ = 1 2

E acabamos. Bora pra mais uma?

Resposta

Se i = j :

cos ⁡ θ = 1

Se i ≠ j :

cos ⁡ θ = 1 2

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Seja V um espaço euclidiano com produto interno u , v . Para que valores de α ∈R a aplicação: u , v → α u , v Também é produto interno sobre V ?
No espaço vetorial euclidiano R 4 sejam u = 1,2 , 0,1 e v = ( 3,1 , 4,2 ) . Determinar u , v ,u ,v ,d u , v ,u + v u + v e o cosseno do ângulo de u e v .
Verifique a lei do paralelogramo num espaço euclidiano V : u + v 2 + u - v 2 = 2 u 2 + 2 v 2 ,∀ u , v∈ V .
Sabendo que u = 3 e v = 5 , com u e v elementos de um espaço euclidiano, determine α ∈R de maneira que u + α v , u - α v = 0
Mostrar que, se u ,v = 0 , para todo vetor v , então u = o .