Enunciado

Determinar a norma de cada um dos seguintes vetores:

  1. u = ( 3,1 , 2,1 ) ∈   R 4 ;
  2. f t = t 2 + t - 1 , em relação ao produto interno f t , g t = ∫ 0 1 f t g t d t ;
  3. A = 1 2 2 1   em relação ao produto do exercício proposto nº 8 desta série.

Passo 1

  1. u = ( 3,1 , 2,1 ) ∈   R 4 ;
  2. Sabemos que

    u = u , u

    Assim,

    u = u , u = ( 3,1 , 2,1 ) ( 3,1 , 2,1 ) = 9 + 1 + 4 + 1 = 15

    Logo,

    u = 15

    Passo 2

  3. f t = t 2 + t - 1 , em relação ao produto interno f t , g t = ∫ 0 1 f t g t d t ;

f t = f t , f t = ∫ 0 1 f t f t d t = ∫ 0 1 ( t 4 + 3 t 3 + 2 t 2 + 2 t + 1 ) d t

= t 5 5 + 3 t 4 4 + 2 t 3 3 + 2 t 2 2 + t 0 1 = 1 5 + 3 4 + 2 3 + 1 + 1 = 31 30

Logo,

f t = 31 30

Passo 2

  1. A = 1 2 2 1   em relação ao produto do exercício proposto nº 8 desta série.

A = A , A = t r ( A T A ) = 1 2 2 1 1 2 2 1 = 5 4 4 5 = 10

Logo,

A = 10

Resposta

  1. u = 15
  2. f t = 31 30
  3. A = 10
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Verificar a desigualdade de Cauchy quando se tem: u = 2 , - 1ev = ( - 2,4 ) e o produto interno do problema 1b. u = - x 2 + x - 3 e v = 3 x 2 - x + 1 e o produto interno do problema 5.
Sejam u = ( x 1 ,x 2 ) e v = ( y 1 , y 2 ) vetores genéricos do R 2 . Para que valores de t ∈ R a função u ,v = x 1 y 1 + t x 2 y 2 é um produto interno sobre o R 2 ?
No espaço V = P 3 R consideremos o produto interno f ( t ) ,g ( t ) = ∫ 0 1 f t g t d t .Calcular f ( t ) ,g ( t ) , f ( t ) ,g ( t ) e f t + g ( t ) quando f t = t 3 - t - 1 e g t = t 2 + 1 . Repita
Sejam f ( t )=a 0 + a 1 t + a 2 t ² + . . . + a n t n e ² g ( t )=b 0 + b 1 t + b 2 t ² + . . . + b n t n ² polinômios quaisquer de P n ( R ) . A função ( f ( t ) , g ( t ) ) →a 0b 0 + a 1 b 1 + . . .
Seja T um isomorfismo de um espaço vetorial V. Provar que se u , v é um produto interno sobre V, então o mesmo acontece com a função P T : V × V → R definida por P T ( u , v ) = T ( u ) , T ( v ) .