Enunciado

Mostre que { p 1 , p 2 , p 3 } é uma base de P 2 e expresse p como uma combinação linear dos vetores da base.

p 1 = 1 + 2 x + x 2 , p 2 = 2 + 9 x , p 3 = 3 + 3 x + 4 x 2 , p = 2 + 17 x - 3 x 2

Passo 1

Desejamos mostrar que o conjunto { p 1 , p 2 , p 3 } é uma base para o espaço dos polinômios de até grau dois, para isso devemos lembrar quais as condições que devem ser satisfeitas para um determinado conjunto ser base e elas são

i O conjunto deve ser linearmente independente, ou seja, não podemos conseguir escrever nenhum elemento do conjunto como combinação linear um do outro.

i i O conjunto deve gerar todo o meu espaço.

OK, muito bonita toda essa teoria mas e na prática como fazemos? Pois bem, na prática são apenas duas continhas que devemos fazer, a primeira para mostrar que são independentes linearmente

c 1 ⋅ p 1 + c 2 ⋅ p 2 + c 3 ⋅ p 3 = 0       1

Onde c n são constantes, essa equação só pode admitir solução que trivial. Agora, para provar que esse conjunto gera nosso espaço vamos pegar o polinômio do segundo grau mais geral possível e mostrar que conseguimos escrevê-lo com a base que temos.

Passo 2

Agora, vamos mostrar que nossa base gera esse espaço tomando um polinômio genérico p g que será

p g = a x 2 + b x + c

Assim, teremos

x 2 ⋅ c 1 + 4 c 3 + x ⋅ 2 c 1 + 9 c 2 + 3 c 3 + 2 c 2 + c 1 + 3 c 3 = a x 2 + b x + c

Então, vamos ter o seguinte sistema

c 1 + 2 c 2 + 3 c 3 = c 2 c 1 + 9 c 2 + 3 c 3 = b c 1 + 4 c 3 = a

Como conseguimos escrever o polinômio como combinação linear da nossa base, então, nossa base gera o espaço indicado.

Passo 3

Basta observamos índice a índice de cada parcela do polinômio com a base que temos e o polinômio ao qual desejamos chegar e vamos verificar tal igualdade exposta acima. Ainda, podemos utilizar o sistema linear acima onde a = - 3 ,   b = 17   e   c = 2 .

Portanto, conseguimos encontrar os valores de c 1 , c 2 e c 3 :

c 1 + 2 c 2 + 3 c 3 = 2 2 c 1 + 9 c 2 + 3 c 3 = 17 c 1 + 4 c 3 = - 3

Resolvendo o sistema linear, temos que

c 1 = 1

c 2 = 2

c 3 = - 1

Assim, vamos escrever o polinômio p como combinação linear da nossa base. Então

p = 2 + 17 x - 3 x 2 = p 1 + 2 p 2 - p 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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