1.

Seja V um espaço vetorial e α e β duas bases distintas de V .

Sejam v → e w → dois vetores distintos de V .

Denotamos as coordenadas de v → em relação à base α por v → α .

Podemos sempre afirmar que:

a   v → α ≠ v → β

b   v → α ≠ w → β

c   v → α ≠ w → α

d   v → β ≠ w → α

Resolução
2.

Seja β = u ,   v ,   w uma base do R 3 . Mostre que se u ' ,   v ' ,   w ' ∈ R 3 são tais que

u ' β = 1 1 0 ,   v ' β = 0 1 1 ,   w ' β = 1 0 1 ,

então { u ' ,   v ' ,   w ' } é uma base de R 3 .

Resolução
3.

No espaço vetorial de R 3 , consideraremos a seguinte base β = { 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 1 , - 1,1 } . Determinar as coordenadas de v ∈ R 3 em relação à base β se:

  1. v = 2 , - 3,4
  2. v = 3,5 , 6
  3. v = ( 1 , - 1,1 )
Resolução
4.
  1. Existe alguma base β de R 2 tal que, 2,1 β = 0 1 ?
  2. É possível encontrar uma segunda base β ' ≠ β também satisfazendo 2,1 β = 0 1 ?
Resolução
5.

O conjunto β = { 2 , - 1 , - 3,2 } é uma base do R 2 . Escreva o vetor genérico do R 2 como combinação linear de β .

Resolução
6.

Calcule as coordenadas de p x = 6 x 2 + 10 x + 3 na base β = { 2 x 2 - 1 ,   x + 1 , x }

(a) p β = 4,7 , 3 T

(b)   p β = 3,5 , 5 T

(c) p β = 3,6 , 4 T

(d)   p β = 4,5 , 4 T

Resolução
7.

Seja

W = a ,   b ,   c ,   d - a + 2 b = 0   e   b + 2 d = 0

A dimensão de W é igual a:

( a ) 1

( b ) 2

( c ) 3

( d ) 4

Resolução
8.

Sejam u 1 → ,   … ,   u n → vetores gerando um espaço vetorial V .

Sejam v 1 → ,   … ,   v k → ∈ V , vetores linearmente independentes.

Assinale a alternativa VERDADEIRA:

a   n ≥ k

b   n = k

c   n ≤ k

d   n > k

Resolução
9.

Dizemos que duas matrizes A , B ∈ M 2 × 2 ( R ) comutam se satisfazem A B = B A . Considere o conjunto C ( A ) de todas as matrizes que comutam com A

C A = B ∈ M 2 × 2 R A B = B A }

Considere agora o caso particular das matrizes A = 1 - 1 - 4 1 e D = 3 0 0 - 1 .

( e ) Calcule a dimensão de C ( A ) .

Resolução
10.

Seja V um espaço vetorial de dimensão n . Considere as seguintes afirmações:

I   Se F = v 1 , … , v k é um subconjunto linearmente independente de V , então podemos encontrar G = w 1 , … , w n - k em V , tal que F ∪ G é linearmente independente.

I I Todo subconjunto de V com mais do que n vetores é gerador de V .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

Resolução
11.

Calcule a primeira coordenada do vetor ( 1 ,   2 ,   3 ) na base β = { 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   - 2 ,   1 ,   1 ,   0 ,   - 1 } :

a) 3 6

b) 0

c) 2

d) 2 3

e) Não sei

Resolução
12.

Se as coordenadas de um vetor v → na base 1 , 0,0 , 1,1 , 0 , 1,1 , 1 são 6,4 , 2 T , então as coordenadas de v → na base canônica são:

a   12 , 10 , 6 T

b   12 , 6 , 2 T

c   12 , 8 , 6 T

d   12 , 8 , 2 T

Resolução
13.

As coordenadas do vetor v → = 3 , - 1 na base β = v → 1 , v → 2 são v → β = 3,1 T . Se v → 1 = 3,2 , calcule v → 2 :

( a ) - 7 , - 10

( b ) - 9 , - 8

( c ) - 6 , - 7

( d ) - 5 , - 7

Resolução
14.

Calcule a soma das coordenadas do vetor 1,6 na base 1,1 , 8,3

a   9

b   8

c   3

d   4

Resolução
15.

Classifique em verdadeira ou falsa as afirmativas:

I   Todo subconjunto linearmente independente de R n possui um número finito de vetores.

I I Todo subconjunto linearmente dependente de R n possui um número finito de vetores.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

Resolução
16.

Se as coordenadas de um vetor v → na base β = 1 , 0,0 , 2 , - 1 , - 1 , - 1,1 , 0 são v → β = 2,5 , - 2 , então as coordenadas de v → na base canônica são:

a   v → ε = 12,0 , 2

( b ) v → ε = 2,1 , 3

( c ) v → ε = 5,2 , 7

( d ) v → ε = 14 , - 7 , - 5

Resolução
17.

Seja β = 1 - x 2 , x + 1 , x - 1 uma base de P 2 . Se p x = 1 + 4 x - 2 x 2 então a soma das coordenadas de p na base β é:

a   6

b   8

c   1

d   3

Resolução
18.

Considere os planos π e ρ de equações cartesianas

π : x - y - z = 0

ρ : 2 x + y + z = 0

(b) Considere o conjunto de vetores

α = 1,1 , 2 , 1,2 , 1 , 1,1 , 0

os vetores que estão escritos na base canônica. Mostre que α é uma base de R 3 .

(c) Considere o vetor v cujas coordenadas na base α são

v α = 1,1 , 0

Determine as coordenadas de v na base canônica.

Resolução
19.

Considere P 2 o espaço vetorial dos polinômios com coeficientes reais e de grau até 2 e seja β = { 1,1 + x , 1 + x + x 2 } uma base de P 2 .

  1. Seja q x = 3 - 2 x + 5 x 2 .   Determine q x β .
  2. Seja t ( x ) tal que t x β = 1 1 1 .   Determine t x .
  3. Decida se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

Se p x = a x + b x 2 , então p x β = 0 a b

Resolução
20.

Dentre os vetores v → abaixo, assinale aquele cuja soma das coordenadas na base β = { 1,2 , 2,3 } é mínima.

(a) v → = ( - 1,1 )

(b) v → = ( 6,7 )

(c) v → = ( 1,4 )

(d) v → = ( 2,5 )

Resolução
21.

Seja

a matriz da transformação linear T : R 2 → R 3 (em relação à base canônica). Se o vetor x tem coordenadas (1,1) em relação à base β = { 1,0 , 1,1 } , então T ( x ) vale:

(a) (3,3,-1)

(b) (3,3,-2)

(c) (2,1,-1)

(d) (2,1,1)

Resolução
22.

Seja β = { 1,3 , 3,1 } . Considere as afirmações.

(I) Existe um vetor não nulo v →   ∈   R 2 tal que suas coordenadas na base canônica são o quádruplo de suas coordenadas na base β .

(II) Existe um vetor não nulo v →   ∈   R 2 tal que suas coordenadas na base canônica são o triplo de suas coordenadas na base β .

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

Resolução
23.

Sejam E = ( e → 1 ,   e → 2 ,   e → 3 ) e F = ( f → 1 ,   f → 2 ,   f → 3 ) duas bases. Se f → 1 = 1 ,   0 ,   2 E , f → 2 = 0 ,   - 1 ,   1 E e f → 3 = 3 ,   1 ,   0 E e u → = - 1 ,   2 ,   1 F , determine as coordenadas de u → em relação à base E .

Resolução
24.

Seja A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 um paralelepípedo reto, com bases os quadrados ( A B C D ) e A 1 B 1 C 1 D 1 , de aresta 1   c m , e arestas laterais A A 1 , B B 1 , C C 1 , D D 1   medindo 3   c m .

  1. Escreva os vetores D 1 B 1 → , A 1 C 1 → , C A 1 → como combinação linear dos vetores A B → , A D → e A A 1 → .
  2. Se a ,   b ,   c E são as coordenadas de C A 1 → na base E = { A B → ,   A D → ,   A A 1 → } , explique porque C A 1 → 2 ≠ a 2 + b 2 + c 2 . Em seguida, calcule (corretamente!) a norma do vetor C A 1 → .
  3. Calcule o produto misto ( D 1 B 1 → ,   A 1 C 1 → ,   C A 1 → ) .
Resolução
25.

Considere os vetores A B → , D G → e D E → no paralelepípedo da figura.

a) Justifique por que β = ( A B → ,   D G → ,   D E → ) é uma base.

b) Determine as coordenadas do vetor A C → na base β .

c) Determine as coordenadas do vetor D F → na base β .

Resolução
26.

Considere um tetraedro A B C D e seja M um ponto tal que

M B → + M C → + M D → = O →

a) Explique por que M pertence à face B C D .

b) Mostre que as coordenadas de A M → na face β = ( A B → ,   A C → ,   A D → ) são 1 3 , 1 3 , 1 3 .

Resolução
27.

Em uma pirâmide regular tendo como base o quadrado A B C D e o vértice V , considere a sequência de vetores Γ = ( A B → ,   A D → ,   A V → ) e o ponto P , projeção ortogonal do vértice V na base da pirâmide.

a) Justifique por que Γ é uma base.

b) Determine as coordenadas do vetor P V → na base Γ .

Resolução
28.

Defina a base β = 1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   0 do R 3 . Se as coordenadas do vetor ( 9 ,   13 ,   2 ) na base β são 9 ,   13 ,   2 β = x ,   y ,   z T , então o valor de z é:

a) 11

b) 9

c) 10

d) 13

e) Não sei.

Resolução
29.

Sejam β = b 1 → ,   b 2 → uma base de R 2 e u → ,   v → ∈ R 2 os vetores u → = ( - 1 ,   1 ) e v → = 3 ,   3 . Se as coordenadas na base β destes vetores são u → β = ( 1 ,   - 1 ) e v → β = 1 ,   1 , então b 1 → é:

a) ( 1 ,   3 )

b) ( 1 ,   2 )

c) ( 2 ,   3 )

d) ( 3 ,   2 )

e) Não sei.

Resolução
30.

Considere os vetores de R 3 cujas coordenadas na base canônica são

v 1 = 1 ,   2 ,   1 ,                       v 2 = 1 ,   - 1 ,   2 ,                           v 3 = ( 0 ,   3 ,   - 1 )

E o subespaço vetorial W de R 3 gerado por estes vetores.

d) Considere os vetores u e v 4 cujas coordenadas na base canônica são

u = 4 ,   3 ,   1                                   v 4 = ( a ,   b ,   c )

Determine a ,   b ,   c para que

α = { v 1 , v 2 , v 4 }

Seja uma base de R 3 tal que as coordenadas do vetor u na base α sejam

u α = 2 ,   1 ,   1

Resolução
31.

Considere os vetores de R 3 cujas coordenadas na base canônica são

v 1 = 1 ,   2 ,   1 ,                       v 2 = 1 ,   - 1 ,   2 ,                           v 3 = ( 0 ,   3 ,   - 1 )

E o subespaço vetorial W de R 3 gerado por estes vetores.

b) Determine uma base γ do subespaço W formada com vetores do conjunto v 1 , v 2 , v 3 . Considere o vetor v cujas coordenadas na base canônica são 2 ,   1 ,   3 . Determine as coordenadas de v na base γ .

Resolução
32.

Podemos afirmar que o conjunto-solução de 1 2 3 4 0 5 6 7 0 5 6 8 0 0 0 0 x y z w = 0 0 0 0 tem dimensão igual a:

a   1

b 2

( c ) 4

( d ) 3

Resolução
33.

Seja β = { 1 - x 2 ,   x + 1 ,   x - 1 } uma base de P 2 .

Se v → = 1 + 2 x - 4 x 2   então a soma das coordenadas de v → na base β é:

( a ) 1

( b ) 3

( c )