Enunciado

Mostre que se B ( v , w ) é uma forma bilinear simétrica cuja forma quadrática associada é positiva definida, então B ( v , w ) é um produto interno. Compare com o Exercício 3.

Passo 1

Bom, se B ( v , w ) é uma forma bilinear simétrica positiva definida, podemos escrever sua matriz diagonalizada como sendo:

λ 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ λ n

Onde:

λ 1 , … ,   λ n > 0

Passo 2

Precisamos verificar se ela satisfaz os axiomas do produto interno. Então vamos lá:

  1. B v , v > 0 , B v , v = 0   somente se v = 0 . Isso vem do fato de ela ser positiva definida.
  2. B v 1 + v 2 , w = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j v 1 i + v 2 i w j
  3. Mas a i j = 0 se i ≠ j e a i i = λ i :

    B v 1 + v 2 , w = ∑ i = 1 n ∑ i = 1 n λ i v 1 i + v 2 i w i =

    = ∑ i = 1 n ∑ i = 1 n λ i v 1 i w i + ∑ i = 1 n ∑ i = 1 n λ i v 2 i w i = B v 1 , w + B ( v 2 , w )

  4. B a v , w = ∑ i = 1 n ∑ i = 1 n λ i a v i w i = a ∑ i = 1 n ∑ i = 1 n λ i v i w i = a B ( v , w )
  5. B v , w = ∑ i = 1 n ∑ i = 1 n λ i v i w i = ∑ i = 1 n ∑ i = 1 n λ i w i v i = B ( w , v )

Resposta

Demonstração.

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