Enunciado

Mostre que cada uma das equações representa uma superfície cilíndrica e determine a equação da curva diretriz e um vetor paralelo as retas geratrizes. a) x 2 + y 2 + 2 z 2 + 2 x y - 2 y z = 1

Passo 1

Fala aeeeee. Tudo bem?

Fazendo y = 0 , chegamos à curva candidata a diretriz no plano xz:

C : x 2 + 2 z 2 = 1

Passo 2

Quando no plano xz, a superfície cilíndrica é representada por:

F ( x - a y , z - c y )

Sendo:

V = ( a , 1 , c )

Substituindo x e z em C :

x - a y 2 + 2 z - c y 2 = 1

x 2 - 2 a x y + a 2 y 2 + 2 z 2 - 2 c y z + c 2 y 2 = 1

Passo 3

Comparando com a equação da superfície:

- 2 a x y = 2 x y   → a = - 1

- 4 c y z = 2 y z   → c =   - 1 2

Portanto:

C u r v a   D i r e t r i z :   x 2 + 2 z 2 = 1  

V e t o r   d i r e t o r : V = ( - 1,1 , - 1 2 )

Resposta

C u r v a   D i r e t r i z :   x 2 + 2 z 2 = 1  

V e t o r   d i r e t o r : V = ( - 1,1 , - 1 2 )

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