Enunciado

17. (a) Mostre que, para cada inteiro positivo n , podemos encontrar n + 1 vetores linearmente independentes em F - ∞ , ∞ . (Sugestão: procure polinômios.)

(b) Use o resultado da parte (a) para provar que F - ∞ , ∞ tem dimensão infinita.

Passo 1

(a) bem... vamos usar o teorema:

Se as funções f 1 , f 2 , … , f n têm n - 1 derivadas contínuas no intervalo ( - ∞ , ∞ ) e se o wronskiano destas funções não é identicamente zero em ( - ∞ , ∞ ) , então essas funções formam um conjunto linearmente independente de vetores.

Então... A gente só precisa aplicar esse teorema pra n + 1 funções... que aí elas vão ter n derivadas contínuas... e já fica demonstrado.

Passo 2

(b) Bem... da definição dizemos que se um espaço vetorial não contém um conjunto finito de vetores linearmente independentes, então ele tem dimensão infinita.

De fato, ne... porque sempre que escolhermos um n sempre vai ter n + 1 vetores linenarmente independentes... sendo assim, não é um número finito.

Então tem dimensão infinita.

Resposta

Demonstração

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a ) Dado o subespaço V 1 = x , y , z ∈ R 3 | x + 2 y + z = 0 ache um subespaço V 2 tal que R 3 = V 1 ⊕ V 2 . b ) Dê exemplos de dois subespaços de dimensão dois de R 3 tais que V 1 + V 2 = R 3 . A som
Se I α α ' = 1 0 11 - 1 00 1 - 1 ache : a )v α onde v α ' = - 1 2 3 b )v α ' onde v α = - 1 2 3
Sejam β = 1,0 , ( 0,1 ) , β 1 = - 1,1 , ( 1,1 ) , β 2 = 3 , 1 , ( 3 , - 1 ) e β 3 = 2,0 , ( 0,2 ) bases ordenadas de R 2 , a ) Ache as matrizes mudança de base: i ) I β β 1 i i ) I β 1 β i i i ) I β 2
Se α é base de um espaço vetorial, qual é a matriz mudança de base I α α ?
Seja V o espaço vetorial de matrizes 2 × 2 triangulares superiores. Sejam β = 1 00 0 , 0 01 0 , 0 00 1 e β 1 = 1 00 0 , 1 01 0 , 1 01 1 duas bases de V . Ache I β β 1 .