Enunciado

21. Neste exercício, estabelemos que uma matriz A é ortogonalmente diagonalizável se, e só se, é simétrica. Já mostramos que uma matriz diagonalizável ortogonalmente é simétrica. A parte mais difícil é provar que uma matriz simétrica é diagonalizável ortogonalmente. Procedemos em duas etapas, mostrando primeiro que A é diagonalizável e depois, usando isso, mostrando que A é diagonalizável ortogonalmente.

(a) Suponha que A seja uma matriz n × n   simétrica. Uma maneira de provar que A é diagonalizável é mostrar que a multiplicidade geométrica de qualquer autovalor λ 0 é igual à multiplicidade algébrica desse autovalor. Para isso, se a multiplicidade geométrica de λ 0 for k , tomamos uma base ortonormal B 0 = u 1 , u 2 , … , u k do autoespaço associado a λ 0 , estendemos essa base a uma base ortonormal B = u 1 , u 2 , … , u n de R n e tomamos a matriz P cujas colunas são os vetores de B . Conforme mostramos no Exercício 34(b) da Seção 5.2, o produto AP pode ser escrito como

A P = P λ 0 I k X 0 Y

Use o fato de que B é uma base ortonormal para provar que X = 0 , a matriz nula de tamanho n × n - k .

(b) Segue da parte (a) e do Exercício 34(c) da Seção 5.2 para provar que o polinômio caracterítico de A é igual ao de

C = λ 0 I k 0 0 Y

Use esse fato e o exercício 34(d) da Seção 5.2 para provar que a multiplicidade algébrica de λ 0 é igual à multiplicidade geométrica de λ 0 . Isso estabelece que A é diagonalizável.

(c) Use o Teorema 7.2.2b e o fato de A ser diagonalizável para provar que A é ortogonalmente diagonalizável.

Passo 1

(a) Primeiro vamos dividir nossa matriz P …

P = P 1 P 2

Então podemos reescrever:

A P 1 P 2 = P 1 P 2 λ 0 I k X 0 Y

Fazendo as multiplicações vetoriais:

A P 1 A P 2 = P 1 λ 0 I k + P 2 0 P 1 X + P 2 Y

Comparando as colunas:

A P 1 = P 1 λ 0 I k + P 2 0

A P 1 = P 1 λ 0 I k

Ok.

E agora:

A P 2 = P 1 X + P 2 Y

Como a base de P é ortonormal, isso só pode acontecer se:

X = 0

Passo 2

(b) Aqui é bem simples... já demonstramos no outro exercício que a multiplicidade algébrica do autovalor é maior ou igual à multiplicidade geométrica... porém lá X não era zero...

Como X = 0 , então não vai ter nenhum autovetor a mais.

Portanto a multiplicidade algébrica é igual à multiplicidade geométrica.

Resposta

Demonstração

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os autovalores das matrizes no Exercício 9.
Encontre bases dos autoespaços das matrizes do Exercício 6.
Em cada parte, encontre a equação característica da matriz. 0 0 1 0 20 10 0 1 0 0 - 2 0 0 1
Encontre bases dos autoespaços das matrizes do Exercício 6.
Em cada parte, encontre a equação característica da matriz. 10 - 9 4 - 2 00 00 0 0 0 0 - 2 - 7 1 2