Enunciado

Mostre que o conjunto das funções F = f x contínuas em a , b tais que

∫ a b f x d x = 0

É um subespaço de C a , b .

Passo 1

Desejamos mostrar que o conjunto de funções dado é um subespaço de C a , b , dessa forma devemos nos lembrar do teorema 4.2 . 1 do livro que nos diz que um conjunto W é subespaço de um espaço V se atende as seguintes condições:

1 Se u   e   v são vetores de W , então u + v está em W .

2 Se k é um escalar e u um vetor em W , então k u está em W .

Passo 2

Sendo assim, tomemos W como sendo o conjunto dado no enunciado e vamos considerar o seguinte

f x = ∫ a b f x d x   e   g x = ∫ a b g x d x     a m b o s   e m   W

Com isso conseguimos testar as nossas duas condições fazendo

f x + g x = ∫ a b f x d x + ∫ a b g x d x  

Como f x ,   g x   ∈ V então

f x + g x = 0 + 0 = 0

Consequentemente f x + g x estão em W . Resta-nos, então, testar a segunda condição fazendo

k ⋅ f x = ∫ a b k ⋅ f x d x = k ⋅ ∫ a b f x d x = k ⋅ 0 = 0

Como essa condição também é satisfeita, temos que o conjunto dado é um subespaço.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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