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Lista de Exercícios Resolvidos de Subespaços Vetoriais

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Considere o subconjunto de M 2 × 2 definido por:

Z = A ∈ M 2 × 2 A ∙ 1 - 2 = 0 0 }

Z é um subespaço vetorial de M 2 × 2 ?

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Mostre que o conjunto abaixo é subespaço vetorial de P 2 , com as operações usuais de P 2 :

S = a + b x + c x 2 ∈ P 2 a + 3 b - 2 c = 0 }

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Determine se é subespaço vetorial de R 3 :

a   U = a , b , c ∈ R 3 a , c ∈ R ,   b = a + c + 1 }

b   V = a , b , c ∈ R 3 a , b ∈ R ,   2 a + 3 b = 5 c }

c   K = a , 1,1 ∈ R 3 a ∈ R }

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Mostre que o conjunto:

S = p ∈ P 3 p - 1 = p 1 = 0 }

é um subespaço vetorial de P 3 , com as mesmas operações usuais dele.

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Considere as seguintes afirmações:

I O núcleo e a imagem de uma matriz real A k × n são subespaços do R n e a soma de suas dimensões é igual a n .

I I O conjunto formado pelas somas de todos os possíveis múltiplos de p x = 2 x 3 + 3 x - 2 e de q x = x 3 + x 2 + x - 1 é um subespaço do espaço de polinômios.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

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Dizemos que duas matrizes A ,   B ∈ M 2 × 2 ( R ) comutam se satisfazem A B = B A . Considere o conjunto C ( A ) de todas as matrizes que comutam com A

C A = B ∈ M 2 × 2 R A B = B A }

a   Mostre que C ( A ) é um subespaço vetorial de M 2 × 2 ( R ) .

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Considere as seguintes afirmações:

I   O espaço linha e o espaço coluna de qualquer matriz real A m × n são subespaços, respectivamente, do R n e do R m , e suas dimensões são iguais.

I I W = x , y ∈ R 2 x + 2 y x - y = 0 é subespaço do R 2 .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

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Assinale o conjunto que NÃO É um subespaço vetorial:

( a ) O conjunto de matrizes reais 2 × 2 cujo elemento da primeira linha e da segunda coluna de A é igual a 1 .

( b ) O espaço gerado pelas colunas de uma matriz real A m × n .

( c ) O conjunto das matrizes 2 × 2 triangulares superiores.

( d ) O conjunto das matrizes X p × 1 tais que A X = 0 , onde A é uma matriz m × p dada.

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O que NÃO É verdadeiro para subespaços W de um espaço vetorial V ?

( a ) Qualquer combinação linear de n vetores de W também é um vetor de W .

( b ) Se S = v 1 , … , v n é uma base de V , então S sempre conterá uma base para W .

( c ) dim ⁡ V ≥ dim ⁡ W

( d ) O espaço gerado por W é igual a W .

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Seja r uma reta em R 2 que não passa pela origem.

  1. r pode ser a imagem de alguma transformação linear T : R 2 → R 2
  2. r pode ser o núcleo de alguma transformação linear T : R 2 → R 2

( a ) I é verdadeira, mas I I é falsa

( b ) I e I I são verdadeiras

( c ) I e I I são falsas

( d ) I é falsa, mas I I é verdadeira

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Qual dos subconjuntos abaixo é subespaço vetorial de R 2 ?

a   x , y ∈ R 2 , x ≥ 0 , y ≥ 0

b   x , y ∈ R 2 , x = y + 1

c   x , y ∈ R 2 , x = - y

d   x , y ∈ R 2 , x 2 + y 2 = 4

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Assinale abaixo o subconjunto do R 2 que é um subespaço vetorial:

a   O conjunto dos pontos cujas coordenadas são ambas positivas

b   O conjunto dos pontos cujas coordenadas são iguais

c O conjunto dos pontos cujas coordenadas são ambas não-nulas

d   O conjunto dos pontos cujas coordenadas são distintas

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Seja um sistema de equações lineares que tem como matriz de coeficientes:

A = 1 2 3 2 4 5 3 5 6

a Determine o posto e a nulidade de A

b É possível que o sistema tenha grau de liberdade maior ou igual a 1 ?

c Determine a matriz de termos independentes do sistema para que seu conjunto solução seja um subespaço de R 3

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Sejam W e A os subconjuntos de M 2 × 2 R dados por W = a b c d : a + d = 0 e A = a b c d : a + d = - 1 .

a Mostre que W é um subespaço vetorial de M 2 × 2 R .

b Mostre que A é um subespaço afim de M 2 × 2 R e determine o subespaço vetorial ao qual ele é paralelo.

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Considere o seguinte subespaço W = 2 , 0,1 , 1 , 1 , - 2,0 , 2 , - 1,1 , - 1 , - 2 do R 4 . Seja v = 4 , 3,2 , k . Determine para que valor(es) de k temos v ∈ W .

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Considere o espaço vetorial P 3 formado pelos polinômios na variável t com grau no máximo 3 .

a O subconjunto de P 3 dado por W = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 a 1 - a 0 = 0   e   a 3 - a 2 = 0 é um subespaço vetorial? Justitique.

b Verifique que o conjunto de P 3 dado por A = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 a 1 - a 0 = - 1   e   a 3 - a 2 = 1 é um subespaço afim e determine o subespaço de P 3 ao qual ele é paralelo. Justifique.

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Considere o sistema linear A x = b . Suponha que o sistema:

1 não tenha solução se b = b 1 ;

2 não tenha solução se b = b 2 ;

3 tenha solução se b = b 3 .

Pode-se afirmar que o sistema:

a não tem solução se b = b 2 + b 3

b tem solução se b = b 1 + b 2

c não tem solução se b = b 1 + b 2

d tem solução se b = b 2 + b 3

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Considere as seguintes afirmações:

I O conjunto formado pelas somas de todos os possíveis múltiplos de 1 , 0,1 , 1 e de 1,1 , 1,1 é um subespaço do R 4 .

I I O núcleo e a imagem de uma matriz real A m × n são subespaços do R n e a soma de suas dimensões é igual a n .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( c ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

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Seja A uma matriz 5 × 5 t.q. A 2 = 0 . Considere as afirmações abaixo e assinale a alternativa correta.

I A imagem de A é subespaço do núcleo de A .

I I A dimensão da imagem de A pode ser 3 .

a   I é verdadeira e I I é verdadeira

b I é verdadeira e I I é falsa

c   I é falsa e I I é verdadeira

d   I é falsa e I I é falsa

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Identifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.

c)   W = { x , y , z ∈ R 3 ; x ≥ 0   e   z ≤ 0 } é um subespaço vetorial do R 3

d) Seja V um espaço vetorial com dim ⁡ V = 7 . Existem U e W subespaços vetoriais de V com dim ⁡ U = 4 , dim ⁡ W = 5 e dim ⁡ ( U ∩ W ) = 0

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Assinale abaixo o conjunto que é um subespaço vetorial de R 3 de dimensão igual a 2:

(a) x ,   y ,   z ∈ R 3 |   x = 1

(b) x ,   y ,   z ∈ R 3 |   x ≥ 0

(c) { x ,   y ,   z ∈   R 3 |   x = y }

(d) { x ,   y ,   z ∈   R 3 |   x = y = z }

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Enuncie que condições um subconjunto W de um espaço vetorial V deve satisfazer para ser subespaço deste. Verifique se U   =   x ,   y ,   z ∈ R 3 ; z = x y   é subespaço de R 3

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Considere o espaço vetorial M 2 × 2 das matrizes de duas linhas e duas colunas e dois subconjuntos:

U = A ∈ M 2 × 2   D e t A = 0 }

V = a c b d ∈   M 2 × 2   a + c = 0   e   b + d = 0 }

(a) Mostre que U não é subespaço vetorial de M 2 × 2

(b) Mostre que V é subespaço vetorial de M 2 × 2 .

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Indique se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.

(b) W = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ∈ P 2 R   a 0 a 1 = 0 }   é subespaço de P 2 R com as operações usuais.

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Seja P 2 o espaço dos polinômios da forma

p x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ;  

a 0 ,   a 1 ,   a 2 ∈ R  

Em qual dos casos abaixo o subconjunto H não é subespaço vetorial de P 2 ?

( a ) H = p ∈ P 2 | p 1 = p 2

( b ) H = p ∈ P 2 | p 1 = 0

( c ) H = p ∈ P 2 | p 1 + p 2 = 0

( d ) H = p ∈ P 2 | p 1 ∙ p 2 = 0

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Seja P 2 o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a dois e V = p ∈ P 2 p 1 = 0 . Assinale a alternativa VERDADEIRA:

a   O polinômio p x = 2 + x + x 2 pertence a V .

b   V é subespaço vetorial de P 2 e x - 1 , x 2 - 1 é uma base de V .

c   V não é subespaço vetorial de P 2 .

d   V é subespaço vetorial de P 2 e tem dimensão igual a 4 .

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Seja S p 2 o conjunto das matrizes M ∈ M 2 R tais que M T J M = J , onde J = 0 - 1 1 0 . Seja M = a b c d . Considere as seguintes afirmações:

  1. Se M ∈ S p 2 , então a d - b c = 1 .
  2. S p 2 é um subespaço vetorial de M 2 R

a   I e I I são falsas.

b   I é verdadeira, I I é falsa.

c   I e I I são verdadeiras.

( d ) I é falsa, I I é verdadeira.

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Considere o conjunto de vetores

V = x , y ∈ R 2 y = x 2 ,

com as operações de soma vetorial e multiplicação por escalar dadas por:

x 1 , y 1 + x 2 , y 2 = x 1 + x 2 , x 1 + x 2 2

k x , y = k x , k 2 x 2

Assinale a afirmativa VERDADEIRA:

( a ) V é um espaço vetorial, mas não é um subespaço de R 2 .

( b ) A soma não possui elemento neutro.

( c ) V é um subespaço vetorial de R 2 .

( d ) A soma não é associativa.

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Considere os seguintes subconjuntos de R 4 :

L = x , y , z , w x = 1 + w   e   y = 2 z

H = x , y , z , w x = y - z + 4 w

  1. L é um subespaço vetorial de R 4 e dim ⁡ L = 2
  2. H é um subespaço vetorial de R 4 e dim ⁡ H = 3

a   A afirmativa I é falsa e a I I é falsa

b   A afirmativa I é verdadeira e a I I é verdadeira

c   A afirmativa I é falsa e a I I é verdadeira

d   A afirmativa I é verdadeira e a I I é falsa

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a Verifique se U = a 0 + a 1 x ∈ P 1 R ; a 0 = a 1 é subespaço de P 1 R .

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Seja C um conjunto de vetores do R n . Considere as seguintes afirmativas:

I O conjunto dos subespaços vetoriais de R n que contêm C é não vazio.

I I O espaço gerado por C é o menor subespaço vetorial de R n que contém C .

I I I C é L I se nenhum de seus vetores pertence ao espaço gerado pelos demais.

( a ) I , I I e I I I são verdadeiras

( b ) Apenas I e I I são verdadeiras

( c ) Apenas I e I I I são verdadeiras

( d ) Apenas I I e I I I são verdadeiras

e Apenas I