Enunciado

Prove o teorema 4.2 . 5 .

Passo 1

Como desejamos provar o teorema vamos transcrevê-lo aqui para facilitar nossa vida. Assim, o teorema nos diz que: “Se S = { v_1 , v_2 , ... , v_r } e S^' = { w_1 , w_2 , ... , w_k } são conjuntos não vazios de vetores num espaço vetorial V , então

g e r {v_1 , v_2 , ... , v_r} = g e r {w_1 , w_2 , ... , w_k}

Se, e só se, cada vetor e S é uma combinação linear dos vetores em S ' , e cada vetor em S ' é uma combinação linear dos vetores em S .”

Passo 2

Pois bem, pelo teorema 4.2 . 3 (b) nós sabemos que qualquer subespaço que contém S deve conter g e r ( S ) , isto é, se S sub W onde W é um subespaço, então g e r (S) sub W . Além disso, temos que cada vetor em S é uma combinação linear de vetor em S ' , temos S sub g e r ( S ' ) , portanto temos g e r (S) sub g e r ( S ' ) .

De forma análoga temos que cada vetor em S ' é uma combinação linear de vetor em S , temos S ' sub g e r ( S ) , portanto temos g e r (S ') sub g e r ( S ) . Portanto, agora que temos que g e r (S) sub g e r (S^') e g e r (S ') sub g e r ( S ) e poderemos provar que g e r (S) = g e r (S^') .

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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