Enunciado

Mostre que o conjunto de todos os vetores do R n ortogonais a um dado vetor V = ( a 1 ,   . . .   , a n ) , W = { X = ( x 1 ,   . . .   , x n ) ∈ R n | X ⋅ V = 0 } é um subespaço de R n .

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Eu sei que estas coisas parecem confusas assim de cara, mas vamos tentar lembrar a definição do que é um subespaço, beleza?

Para ser um subespaço, é necessário que o sistema respeite três propriedades:

(i) O elemento neutro pertence ao conjunto em questão.

(ii) É necessário que a propriedade aditiva seja válida, ou seja para dois vetores X e Y que pertencem ao conjunto, temos que:

X + Y ∈ W

e por último:

(iii) Precisamos que a propriedade escalar seja válida, ou seja:

α X ∈ W

Vamos tentar resolver isso então!

Passo 2

A primeira coisa a se checar é, temos o elemento neutro? Vamos supor um vetor da forma X 0 = ( 0,0 , 0 ,   . . .   , x n = 0 ) , será que ele é ortogonal à V ? Como ele é um vetor nulo, ele é ortogonal a todo e qualquer vetor, já que a ortogonalidade é dada pela definição:

X ⋅ V = 0

Okay, a primeira propriedade já era, vamos para a próxima!

Passo 3

Se propomos agora a existência e um segundo vetor ortogonal a V , ou seja:

X 2 ⋅ V = 0

Será que X 1 + X 2 ainda é ortogonal? Pela propriedade associativa do produto escalar, isso saí direto, a propriedade é a seguinte:

V ⋅ ( X 1 + X 2 ) = V ⋅ X 1 + V ⋅ X 2 = 0 + 0 = 0

Portanto X 1 + X 2 ∈ W , já que ele também é ortogonal pela definição de ortogonalidade. Relação (ii) já era, bora para a última!

Passo 4

Agora vamos propor um vetor Z = α X , em que X ∈ W . Se lembrarmos da propriedade de multiplicação por escalar do produto escalar, temos:

V ⋅ ( α X ) = α ( V ⋅ X ) = 0

Ou seja, Z = α X ∈ W . Sendo assim, as três propriedades são válidas e portanto, W é subespaço do R n . A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos.

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