Enunciado

Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal para o subespaço de R 4 que tem como base { ( 1,1 , - 1,0 ) , ( 0,2 , 0,1 ) , ( - 1,0 , 0,1 ) } .

Passo 1

Oiiie, tudo certinho?

Para resolver esta questão vamos nos lembrar a definição de ortogonalidade mais simples que pode ser utilizada neste problema, ou seja:

X ⋅ Y = ∑ i = 1 3 x i y i = 0           ( 1 )

E também é necessário que | | X | | = 1 e | | Y | | = 1 , para que eles sejam normalizados. A definição de norma é dada por:

| | X | | = ∑ i = 1 3 x i 2           ( 2 )

Ou seja, nossos vetores de base devem obedecer às condições dadas acima, bora lá!

Passo 2

Vamos estabelecer o seguinte, V 1 = ( 1,1 , - 1,0 ) , V 2 = ( 0,2 , 0,1 ) , V 3 = ( - 1,0 , 0,1 ) . Como nenhum deles é ortogonal podemos utilizar o método de Gram-Schmidt para calcular a nossa base ortogonal e para para isso vou introduzir a definição:

p r o j W V = ( V ⋅ W | | W | | 2 ) W           ( 3 )

que é a projeção ortogonal de um vetor V qualquer em um vetor não nulo W , e portanto, podemos formar uma base ortogonal encontrando sucessivos vetores tais que se:

W 1 = V 1           ( 4 )

temos que:

W 2 = V 2 - p r o j V 1 V 2 = V 2 - ( V 2 ⋅ V 1 | | V 1 | | 2 ) V 1           ( 5 )

e

W 3 = V 3 - ( V 3 ⋅ W 1 | | W 1 | | 2 ) W 1 - ( V 3 ⋅ W 2 | | W 2 | | 2 ) W 2           ( 6 )

Vamos encontrar então a nossa base, bora bora!

Passo 3

Temos que:

W 1 = V 1 = ( 1,1 , - 1,0 )

e portanto, temos que:

| | W 1 | | = ( 1 ) 2 + ( 1 ) 2 + ( - 1 ) 2 + ( 0 ) 2 = 3

calculando também que:

V 2 ⋅ W 1 = ( 1 ) × ( 0 ) + ( 1 ) × ( 2 ) + ( - 1 ) × ( 0 ) + ( 0 ) × ( 1 ) = 2

Portanto, temos que:

W 2 = ( 0,2 , 0,1 ) - 2 3 ( 1,1 , - 1,0 ) = ( - 2 3 , 4 3 , 2 3 , 1 )

Vamos usar este resultado para obter o nosso próximo vetor, beleza?

Passo 4

Vamos utilizar a definição (6) para obter:

W 3 = ( - 1,0 , 0,1 ) - ( - 1 3 ) ( 1,1 , - 1,0 ) - ( V 3 ⋅ W 2 | | W 2 | | 2 ) ( - 2 3 , 4 3 , 2 3 , 1 )

Vamos usar a definição (1) para obter:

V 3 ⋅ W 2 = ( - 1 ) × ( - 2 / 3 ) + ( 0 ) × ( 4 / 3 ) + ( 0 ) × ( 2 / 3 ) + ( 1 ) × ( 1 ) = →

→ = 2 / 3 + 1 = 5 / 3

E agora, pela definição (2), temos que:

| | W 2 | | = ( - 2 / 3 ) 2 + ( 4 / 3 ) 2 + ( 2 / 3 ) 2 + ( 1 ) 2 = 4 / 9 + 16 / 9 + 4 / 9 + 1 = →

→ = 24 / 9 + 1 = 33 / 9 = 33 / 3

e finalmente, temos que:

W 3 = ( - 1,0 , 0,1 ) - ( - 1 3 ) ( 1,1 , - 1,0 ) - ( 5 / 3 33 / 9 ) ( - 2 3 , 4 3 , 2 3 , 1 ) = →

→ = ( - 4 / 11 , - 3 / 11 , - 7 / 11,6 / 11 )

Portanto, nossa base é tal que W 1 = V 1 = ( 1,1 , - 1,0 ) ,   W 2 = ( - 2 / 3,4 / 3,2 / 3,1 )   e   W 3 = ( - 4 / 11 . - 3 / 11 , - 7 / 11 ,   6 / 11 ) .

Vamos normalizá-la, e o problema acabou!

Passo 5

Um vetor normalizado pode ser obtido fazendo:

V N   =   V | | V | |           ( 7 )

Portanto, temos que:

W 1 N = 1 3 ( 1,1 , - 1,0 ) = 3 3 ( 1,1 , - 1,0 )

temos também que:

W 2 N = 3 33 ( - 2 / 3,4 / 3,2 / 3,1 ) = 33 11 ( - 2 / 3,4 / 3,2 / 3,1 )

e por último, usando a definição (2) para calcular:

| | W 3 | | = ( - 4 11 ) 2 + ( - 3 11 ) 2 + ( - 7 11 ) 2 + ( 6 11 ) 2 = 110 121 = 10 11

e portanto, temos:

W 3 N = 11 10 ( - 4 / 11 , - 3 / 11 , - 7 / 11,6 / 11 ) = 110 110 ( - 4 , - 3 , - 7,6 )

Aí está nossa base ortonormal, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

W 1 N = 3 3 ( 1,1 , - 1,0 ) , W 2 N = 33 11 ( - 2 / 3,4 / 3,2 / 3,1 )   e   W 3 N = 110 110 ( - 4 , - 3 , - 7,6 )    

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