Enunciado

Mostre que a dimensão do subespaço gerado pelas linhas de uma matriz escalonada reduzida é igual a dimensão do subespaço gerado pelas suas colunas.

Passo 1

Galera, para conseguir entender o que essa questão precisa, vamos relembrar da definição 1.6 do livro:

Uma matriz m × n na forma escalonada reduzida satisfaz:

(a) Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) ocorrem abaixo das linhas não nulas;

(b)O pivô (1º elemento não nulo de uma linha) de cada linha não nula é igual à 1;

(c)O pivô de cada linha não nula ocorre à direita do pivô da linha anterior.

(d)Se uma coluna contém um pivô, então todos os seus outros elementos são iguais a zero.

Resumindo uma matriz escalonada reduzida tem a forma:

⎜       1                 3                 0               0         ⋯       0       ⎜

⎜       0                 0                 1               0         ⋯       0       ⎜

⎜       0                 0                 0               1         ⋯       0       ⎜

⎜       0                 0                 0               0         ⋯       0       ⎜

⎜ ⋯       ⋯       ⋯   ⋯     ⋯   ⋯ ⎜

⎜       0                 0                 0               0         ⋯       0       ⎜

Lembrando que isso é só um exemplo. O formato dessa matriz pode ser um pouco diferente, contanto que as condições acima sejam satisfeitas.

Passo 2

Vamos supor que uma matriz n × n tem k linhas não-nulas que são escritas como

[ 1       3         0         ⋯       0 ] ,     [ 0       1         0         ⋯       0 ] ,   . . .   ,     [ 0       0         0         ⋯       1   ⋯   0 ]

Temos k termos e podemos escrever muitos vetores do tipo [ a 1           a 2   ⋯     a k         0           ⋯         0   ] como combinação linear desses vetores. Então, o subespaço gerado por essas linhas tem dimensão igual a k . No nosso exemplo, temos k + 1 colunas não nulas, mas as duas primeiras colunas são proporcionais entre si. Então temos k colunas que são linearmente independentes e que podem ser usadas como base para esse subespaço. Assim, a dimensão do subespaço é igual a k .

Resposta

Veja a resolução acima.

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