Enunciado

( a ) Mostre que uma equação geral do plano π tangente a superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 em T = ( h , k , l ) é h x + k y + l z = ρ 2

( b ) Generalize o resultado do item ( a ) para a superfície de centro C = ( x 0 , y 0 , z 0 ) e raio ρ

( c ) Dê uma interpretação vetorial para os resultados dos itens ( a ) e ( b )

Passo 1

Como o ponto T pertence a esfera então:

h 2 + k 2 + l 2 = ρ 2

E como o centro da esfera está em C = ( 0,0 , 0 ) e o ponto de tangência em T = h , k , l então o vetor ordenado C T → será:

C T → = ( h , k , l )

E como esse vetor está perpendicular ao plano tangente então o plano tangente terá equação igual a:

h x + k y + l z - m = 0

E se aplicarmos o ponto x , y , z = ( h , k , l ) nós veremos que:

m = ρ 2

Então a equação do plano tangente será:

h x + k y + l z = ρ 2

Passo 2

Para a equação de centro em C = ( x 0 , y 0 , z 0 ) nós teríamos uma equação de esfera igual a:

x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = ρ 2

Em T = ( h , k , l ) nós teríamos:

h - x 0 2 + k - y 0 2 + l - z 0 2 = ρ 2

E o vetor C T → será igual a:

C T → = h , k , l - x 0 , y 0 , z 0 = ( h - x 0 ,   k - y 0 , l - z 0 )

Portanto uma equação de plano tangente seria:

h - x 0 x + k - y 0 y + l - z 0 z = m

Porém como x ≠ x 0 ,   y ≠ y 0 ,   z ≠ z 0 e se x = h ,   y = k e z = l , m será igual a ρ 2 então uma equação seria:

h - x 0 ( x - x 0 ) + k - y 0 ( y - y 0 ) + l - z 0 ( z - z 0 ) = ρ 2

Poderíamos encontrar essa função linearizando a esfera nesse ponto, mas isso está mais para os livros de cálculo.

Passo 3

Basicamente fizemos uma multiplicação escalar entre o vetor do centro da esfera até um ponto X que pertence a esse plano tangente e o vetor do centro até o ponto T que pertence a esfera de modo que:

C T → ⋅ C X → = ρ 2

Resposta

b )   h - x 0 ( x - x 0 ) + k - y 0 ( y - y 0 ) + l - z 0 ( z - z 0 ) = ρ 2

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