Enunciado

Obtenha uma equação da superfície cônica de vértice V = ( 0,0 , 0 ) , circunscrita a superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 - 3 x - y + 2 = 0

Passo 1

Escrevendo a equação reduzida dessa esfera nós temos:

x 2 - 3 x + y 2 - y + z 2 = - 2

Completando os quadrados dessa expressão nós teremos:

x 2 - 3 x + 9 4 + y 2 - y + 1 4 + z 2 = - 2 + 9 4 + 1 4

x - 3 2 2 + y - 1 2 2 + z 2 = 1 2

Passo 2

Aí a parada para essa questão é considerar que esse ponto V é exterior a S e que existe um ponto X = ( x , y , z ) que pertence a superfície Ω que é cônica somente se X pertence a uma reta tangente a essa esfera, então considerando um ponto de tangência T = ( m , n , p ) nós temos que:

T = V + λ   V X →

Onde V X → é λ ( x - 0 , y - 0 , z - 0 ) uma vez que V é a origem:

T = λ x , λ y , λ z

Aplicando T na esfera nós teremos:

λ x - 3 2 2 + λ y - 1 2 2 + ( λ z ) 2 = 1 2

O que nos dá uma equação de:

y 2 + x 2 + z 2 λ 2 - 3 x + y λ + 2

Passo 3

Fazendo o determinante dessa equação ser zero (para termos a tangente) nós obteremos:

Δ = 3 x + y 2 - 8 x 2 + y 2 + z 2 = 0

Ou algo como:

x 2 - 7 y 2 - 8 z 2 + 6 x y = 0

Plotando a região e a esfera nós teremos algo como:

Resposta

x 2 - 7 y 2 - 8 z 2 + 6 x y = 0

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Determine a superfície esférica de menor área, tangente aos três planos coordenados e passando pelo ponto P =( 1 ,- 5 ,- 4 ) .
Determine o centro e o raio da circunferência, interseção do plano 2 x- y+ 3 z-3=0 com a superfície x 2+y 2+ z 2- 2 y- 2 z- 2=0 .
Determine as coordenadas das extremidades do diâmetro da superfície esférica e que é paralelo a reta x+ 1 =- y +5=z -7 .
Ache os planos que passam pela reta t : ( x , y , z )=( 4,5 , - 2 )+m ( 1 , - 1,0 ) e que cortam sobre a superfície esférica S :( x - 1 ) 2+( y - 2 ) 2+ ( z - 1 ) 2 = 16 circunferências de raio 7 .
Dada a superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 - 3 x - 9= 0 e o plano x+ y + z - 1 = 0 ,determine a posição relativa da superfície e o plano;se o plano for:externo, calcule a distância do centro ao plano;