Enunciado

  1. Mostre que se f → = f ( x ) for duas vezes derivável, então a função D : C 2 ( - ∞ , ∞ ) → F ( - ∞ , ∞ ) definida por D f → = f ' ' ( x ) é uma transformação linear.
  2. Encontre uma base do núcleo de D
  3. Mostre que o conjunto das funções que satisfazem a equação D f → = f ( x ) é um subespaço bidimensional de C 2 ( - ∞ , ∞ ) e encontre uma base desse subespaço.

Passo 1

Para uma função ser núcleo de D , isso quer dizer que quando essa função for derivada duas vezes ela deve ser igual a zero.

Do cálculo, sabemos que se uma função polinomial de primeiro grau for derivada duas vezes ela será igual a zero. Da mesma forma, se derivarmos uma função constante duas vezes o resultado também será zero.

Então qualquer constante ou qualquer função de primeiro grau podem ser bases do núcleo de D . Por simplicidade vamos escolher as duas funções abaixo

f x = 1 g x = x

Resposta

f x = 1 ;   g x = x

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