Enunciado

a Mostre que a função f x , y = x 3 - 6 x y - y 3 tem pontos críticos em 0,0 e - 2,2 .

b Use a forma hessiana do teste da derivada segunda para mostrar que f tem um máximo relativo em - 2,2 e um ponto de sela em 0,0 .

Passo 1

Para encontrarmos os pontos críticos da nossa função vamos, primeiramente, calcular as derivadas parciais de primeira ordem da nossa função fazendo

f x x , y = 3 x 2 - 6 y ,     f y x , y = - 6 x - 3 y 2

Agora, para encontrarmos os pontos críticos vamos igualar nossas equações acima a 0 obtendo assim

f x = 0 → 3 x 2 - 6 y = 0 → x 2 2 = y         1

f y = 0 → - 6 x - 3 y 2 = 0 → x = - y 2 2   2

Ficamos, então, com um sistema de equações que vamos resolver substituindo 1 em 2

→ x = - y 2 2 → x = - 1 2 ⋅ x 2 2 2 → x = - x 4 8 → x 4 + 8 x = 0

→ x ⋅ x 3 + 8 = 0 → x = 0   o u   x = - 2

Teremos como valores de y correspondentes para esses valores de x o seguinte

x = 0 →   y = 0

x = - 2 → y = 2

Logo nossos pontos críticos ficam sendo 0,0   e   - 2,2 .

Passo 2

Vamos utilizar o método da matriz hessiana para mostrar que nossos pontos são pontos de máximo relativo e sela. Para isso vamos escrever nossa matriz Hessiana que é dada por

H x , y = f x x x , y f x y x , y f y x x , y f y y x , y = 6 x - 6 - 6 - 6 y

Vamos, agora, escrever todos os nossos pontos críticos na forma Hessiana como sendo

H 1 0,0 = 0 - 6 - 6 0

H 2 - 2,2 = - 12 - 6 - 6 - 12

Passo 3

Agora, podemos encontrar os autovalores relacionados a cada um desses pontos através da equação característica det ⁡ λ I - H i = 0   e fazer afirmações sobre os mesmos. Assim, para o primeiro vamos ter

det ⁡ λ 0 0 λ - 0 - 6 - 6 0 = 0 → λ 1 = 6 , λ 2 = - 6

Como tivemos dois autovalores de sinais contrários nossa matriz H 1 é indefinida e, consequentemente o ponto relacionado a ela um ponto de sela. Procedendo da mesma forma para o segundo ponto vamos encontrar

det ⁡ λ 0 0 λ - - 12 - 6 - 6 - 12 = 0 → λ + 12 2 - 36 = λ 2 + 24 λ + 108 = 0

λ 1 = - 6   , λ 2 = - 18

Com isso, nossa matriz torna-se definida negativamente e isso implica que o nosso ponto em estudo será um ponto de máximo relativo como queríamos mostrar.

Resposta

a   D e m o n s t r a ç ã o

b   D e m o n s t r a ç ã o

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