Enunciado

Suponha que a temperatura no ponto x , y de uma placa metálica seja dada por T x , y = 4 x 2 - 4 x y + y 2 . Uma formiga caminhando na placa percorre uma circunferência de raio 5 centrada na origem. Quais são a maior e a menor temperaturas encontradas pela formiga?

Passo 1

Desejamos achar os pontos de máximo e mínimo da nossa função e, para isso, vamos ter que encontrar primeiramente quem são os nossos pontos críticos e esses, por sua vez, são encontrados calculando as derivadas parciais e igualando-as a zero. Sendo assim, vamos ter

T x x , y = 8 x - 4 y = 0 → y = 2 x

T y x , y = - 4 x + 2 y = 0 → y = 2 x     i

Temos que a nossa formiga percorre uma circunferência de raio 5 e centrada na origem, ou seja, uma circunferência cuja equação é dada por

x 2 + y 2 = 25     1

Pois bem, como estamos querendo saber as temperaturas que a formiga vai perceber podemos substituir a relação dada em i na equação acima de forma que obtemos

x 2 + 2 x 2 = 25 → 5 x 2 = 25 → x 2 = 5 → x = ± 5

Os valores de y correspondentes serão dados por

x = 5 → y = 2 5

x = - 5 → y = - 2 5

Portanto, temos como pontos críticos os seguintes pontos: 5 , 2 5   e   - 5 , - 2 5

Passo 2

Com isso, podemos montar nossa matriz Hessiana que será dada por

H x , y = T x x x , y T x y x , y T y x x , y T y y x , y = 8 - 4 2 - 4

Sendo assim, podemos reescrever todos os pontos críticos na forma Hessiana como sendo

H 1 5 , 2 5 = 8 - 4 2 - 4           1

H 2 - 5 , - 2 5 = 8 - 4 2 - 4       2

Passo 3

Agora, podemos encontrar os autovalores relacionados a cada um desses pontos (que no caso geraram uma mesma matriz hessiana) através da equação característica det ⁡ λ I - H i = 0   e fazer afirmações sobre os mesmos. Assim, temos

det ⁡ λ 0 0 λ - 8 - 4 2 - 4 = 0

det ⁡ λ - 8 4 - 2 λ + 4 = λ - 8 ⋅ λ + 4 + 8 = 0

λ 2 - 4 λ - 24 = 0

→ λ 1 = 2 + 2 7 , λ 2 = 2 - 2 7

Para a função dada os pontos críticos são pontos de sela. No entanto, devido a restrição dada pelo caminhar da nossa formiga temos que esses pontos serão de máximo ou mínimo dentro da restrição 0 ≤ x ≤ 5   e   0 ≤ y ≤ 5 , sendo assim, substituamos nossos pontos na equação de T x , y para verificarmos o resultado

T x , y = 4 x 2 - 4 x y + y 2

Pela simetria do problema vamos ter

T 5 , 2 5 = T - 5 , - 2 5 = 4 ⋅ 5 2 - 4 ⋅ 5 ⋅ 5 + 2 ⋅ 5 2

T 5 , 2 5 = 20 °   d a   u n i d a d e   a d o t a d a .

Tá mas e o ponto de temperatura mínima? Calma jovem gafanhoto, vem tranquilo. Achou que não ia usar a restrição da trajetória da formiga pra nada, né?

A nossa tempera mínima vai ser dada exatamente pelo mínimo das duas restrições de x   e   y , ou seja, pelo ponto ( 0,0 ) cuja temperatura correspondente será

T 0,0 = 4 ⋅ 0 2 - 4 ⋅ 0 ⋅ 0 + 0 2

T 0,0 = 0 °   d a   u n i d a d e   a d o t a d a

Resposta

T e m p e r a t u r a   m á x i m a   : 20 °

T e m p e r a t u r a   m í n i m a : 0 °

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